Рассмотрим тело из какого-то упругого материала, например брусок из желе. Если мы разрежем этот брусок, то материал на каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать перемещение под действием внутренних сил. До того как был сделан разрез, между двумя этими частями должны были дейст­вовать силы, которые удерживали обе части в едином куске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представьте себе, что мы смотрим на воображаемую плоскость, перпендику­лярную оси х, подобную плоскости s на фиг. 31.5, и интересуем­ся силами, действующими на маленькой площадке Dy/Dz, рас­положенной в этой плоскости.

Фиг. 31.5. Материал, находящийся слева от плоскости s на площади Dy/Dz, действует на материал, нахо­дящийся справа, с силой D F 1 .

Материал, находящийся слева от площадки, действует на материал с правой стороны с силой DF1 (фиг. 31.5, б). Есть, конечно, и обратная реакция, т.е. на материал слева от поверхности действует сила —DF1. Если площадка достаточно мала, то мы ожидаем, что сила DF1 про­порциональна площади Dy/Dz.

Вы уже знакомы с одним видом напряжений — статическим давлением жидкости. Там сила была равна давлению, умно­женному на площадь, и направлена под прямым углом к элементу поверхности. Для твердого тела, а также движущей­ся вязкой жидкости сила не обязательно перпендикулярна по­верхности: помимо давления (положительного или отрицатель­ного), появляется еще и сдвигающая сила. (Под «сдвигающей» силой мы подразумеваем тангенциальные компоненты сил, действующих на поверхности.) Для этого нужно учитывать все три компоненты силы. Заметьте еще, что если раз­рез мы сделаем по плоскости с какой-то другой ориента­цией, то действующие на ней силы тоже будут другими. Полное описание внутренних напряжений требует применения тензоров.

Определим тензор нап­ряжений следующим образом. Вообразите сначала разрез, перпендикулярный оси х, и разложите силу DF1, действующую на разрезе, на ее компо­ненты: DFx1, DFy1, DFz1 (фиг. 31.6).

Фиг. 31.6. Сила DF1, дейст­вующая на элементе площади DyDz, перпендикулярной оси х, разлагается на три компонен­ты: DFx1, DFу1 и DFz1.

Отношение этих сил к площади Dy/Dz мы назовем Sxx, Syxи Szx. Например,

Syx=DFу1/DyDz

Первый индекс у относится к направлению компоненты силы, а второй х — к направлению нормали к плоскости. Если угод­но, площадь DyDz можно записать как Dах, имея в виду элемент площади, перпендикулярный оси х, т. е.

Syx=DFу1/Dах

А теперь представьте себе разрез, перпендикулярный оси у. Пусть на маленькую площадку DxDz действует сила DF2.

Разлагая снова эту силу на три компоненты, как показано на фиг. 31.7, мы опре­деляем три компоненты на­пряжения Sxy, Syy, Szyкак силы, действующие на единичную площадь в этих трех направлениях.

Фиг. 31.7. Сила, действующая на элемент площади, перпенди­кулярной оси у, разлагается на три взаимно перпендикулярные компоненты.

Наконец, проведем воображаемый раз­рез, перпендикулярный оси z, и определим три компоненты Sxz, Syzи Szz. Таким образом, получается девять чисел:

Я хочу теперь показать, что этих девяти величин достаточ­но, чтобы полностью описать внутреннее напряженное состоя­ние, и что Sij– —действительно тензор. Предположим, что мы хо­тим знать силу, действующую на поверхность, наклоненную под некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, ис­ходя из Sij? Можно, и это делается следующим образом. Вооб­разите маленькую призму, одна грань N которой наклонна, а другие — параллельны осям координат. Если окажется, что грань N параллельна оси z, то получается картина, изобра­женная на фиг. 31.8.