Шрифт:
Заметьте, в частности, что если взять полную систему состояний только с одним спином-«перевертышем», то они будут перемешиваться только между собой. Гамильтониан никогда не перемешает эти состояния с другими, в которых спинов-«перевертышей» больше. Пока вы только обмениваетесь спинами, вы никогда не сможете изменить общего количества перевертышей. Удобно будет использовать для гамильтониана матричное обозначение, скажем,
уравнение (13.7) эквивалентно следующему:
Каковы же теперь уровни энергии для состояний с одним перевернутым спином? Пусть, как обычно, Сn— амплитуда того, что некоторое состояние |y> находится в состоянии |xn>. Если мы хотим, чтобы |y> было состоянием с определенной энергией, то все Сnобязаны одинаково меняться со временем, а именно по правилу
Подставим это пробное решение в наше обычное уравнение Гамильтона
используя в качестве матричных элементов (13.8). Мы, конечно, получим бесконечное количество уравнений, но все их можно будет записать в виде
Перед нами опять в точности та же задача, что и в гл. 11, только там, где раньше стояло Е0, теперь стоит 2А. Решения отвечают амплитудам Сn(амплитудам с перевернутым спином), которые распространяются вдоль решетки с константой распространения k и энергией
Е=2A(1-coskb), (13.12)
где b — постоянная решетки.
Решения с определенной энергией отвечают «волнам» переворота спина, называемым «спиновыми волнами». И для каждой длины волны имеется соответствующая энергия. Для больших длин волн (малых k) эта энергия меняется по закону
Е=Аb2k2. (13.13)
Как и прежде, мы можем теперь взять локализованный волновой пакет (содержащий, однако, только длинные волны), который соответствует тому, что электрон-«перевертыш» окажется в такой-то части решетки. Этот перевернутый спин будет вести себя как «частица». Так как ее энергия связана с k формулой (13.13), то эффективная масса «частицы» будет равна
Такие «частицы» иногда именуют «магнонами».
§ 2. Две спиновые волны
Теперь мы хотели бы выяснить, что происходит, когда имеется пара перевернутых спинов. Опять начнем с выбора системы базисных состояний. Выберем такие состояния, когда спины перевернуты в каких-то двух местах (так, как на фиг. 13.2).
Фиг. 13.2. Состояния с двумя перевернутыми спинами.
Эти состояния можно, скажем, отмечать x– координатами тех двух узлов решетки, в которых оказались электроны с перевернутым спином. То, что на рисунке, можно обозначить |х2, х5>. В общем случае базисные состояния будут |хn, хm>— дважды бесконечная совокупность! При таком способе описания состояние | x4, х9> и состояние | х9, x4> совпадают, потому что каждое из них просто говорит, что в точках 4 и 9 спин перевернут; порядок их не имеет значения. Не имеет также смысла состояние | x4, х4> — такого просто быть не может. Любое состояние |y> мы можем описать, задав амплитуды того, что оно обнаружится в одном из базисных состояний.
Итак, Сm,n=<хm,хn|y> теперь означает амплитуду того, что система в состоянии |y> окажется в состоянии, когда у электронов, стоящих вблизи m– го и n– го атомов, спины смотрят вниз. Сложности, которые теперь возникнут, будут связаны не с усложнением идей,— это будут просто усложнения в бухгалтерии. (Одна из сложностей квантовой механики как раз и состоит в громоздкости бухгалтерии. Чем больше спинов перевернется, тем сложнее станут обозначения, тем больше будет индексов, тем страшнее будут выглядеть уравнения; но сами идеи вовсе не обязательно должны усложниться.)
Уравнения движения спиновой системы — это дифференциальные уравнения для Сn,m:
Пусть нам опять нужно найти стационарные состояния. Как обычно, производные по времени обратятся в Е, умноженное на амплитуду, a Cm,n, заменятся коэффициентами аm,n. Затем надо аккуратно рассчитать влияние Н на состояние с перевернутыми спинами т и п. Это сделать нетрудно. Представьте на минуту, что т далеко от n, так что не нужно думать, что будет, если ... и т. д. Обменная операция, производимая в точке хn, передвинет перевернутый спин либо к (n+1)-му, либо к (n– 1)-му атому, так что имеется ненулевая амплитуда того, что теперешнее состояние получилось из состояния |хm, хn+1>, и амплитуда того, что оно произошло из состояния |хm, хn– 1>. Но передвинуться мог и второй спин, так что не исключена и какая-то амплитуда того, что Сm,nпитается от Сm+1,n или от Сm– 1,n. Все эти эффекты должны быть одинаковы. Окончательный вид гамильтонова уравнения для Сm.nтаков: