*Во многих книжках эта же энергетическая диаграмма истолковывает­ся иначе. Шкалу энергий относят только к электронам. Вместо того чтобы думать об энергии дырки, говорят о той энергии, которую имел бы элект­рон, если бы он заполнил дырку. Эта энергия меньше, нежели энергия сво­бодного электрона, причем как раз на ту величину, которая показана на фиг. 12.5. При такой интерпретации шкалы энергий ширина энергетиче­ской щели — это наименьшая энергия, которой нужно снабдить элект­рон, чтобы перевести его из связанного состояния в зону проводимости.

Литература: Ч. Киттель, Введение в фи­зику твердого тела, М.—Л., 1958, гл. 13, 14, 18.

§ 1. Спиновые волн

§ 2. Две спиновые волны

§ 3. Независимые частицы

§ 4. Молекула бензола

§ 5. Еще немного органической химии

§ 6. Другие приме­нения прибли­жения

§ 1. Спиновые волны

В гл. 11 мы разработали теорию распро­странения электрона или любой другой «частицы», например атомного возбуждения, вдоль кристаллической решетки. В предыдущей главе мы эту теорию применили к полупроводникам. Но хотя электронов у нас всегда было много, мы тем не менее неизменно пренебрегали каким-либо взаимодействием между ними. Это, конеч­но, было не более чем приближение, и мы сейчас постараемся глубже разобраться в самой мысли о том, что взаимодействием между элект­ронами разрешается пренебрегать. Мы к тому же воспользуемся возможностью продемонстри­ровать новые применения теории распростране­ния частиц. Поскольку мы по-прежнему будем продолжать пренебрегать взаимодействием меж­ду частицами, то фактически в этой главе будет очень мало нового, разве что новые при­ложения. Однако первый пример, который мы хотим рассмотреть,— это пример, в котором есть возможность совершенно точно выписать правильные уравнения для случая, когда «частиц» больше чем одна. Из них мы сможем увидеть, как делается приближение пренебре­жения взаимодействием. Впрочем, мы не будем слишком тщательно анализировать эту про­блему.

В качестве первого примера рассмотрим «спиновую волну» в ферромагнитном кристалле.

Теории ферромагнетизма мы касались в гл.36 (вып. 7). При нулевой температуре все спины электронов, которые дают вклад в магнетизм всего ферромагнитного кристалла, параллельны между собой. Между спинами существует энер­гия взаимодействия, которая ниже всего тогда, когда все спины направлены вниз. Но при ненулевой темпера­туре имеется какая-то вероятность того, что часть спинов перевернется. Эту вероятность тогда мы приближенно под­считывали. На этот раз мы разовьем квантовомеханическую теорию явления, чтобы знать, что делать, если нужно будет решить задачу точнее. Но мы все еще будем прибегать к идеали­зации; будем считать, что электроны расположены вблизи ато­мов, а спины взаимодействуют только со своими соседями.

Рассмотрим такую модель: пусть в каждом атоме все элект­роны, кроме одного, спарены, и весь магнитный эффект обязан тому, что в каждом атоме остается один неспаренный электрон со спином 1/2. Вообразим еще, что эти электроны расположены в тех самых узлах решетки, где находятся атомы. Модель в об­щих чертах отвечает металлическому никелю.

Кроме того, допустим, что любая пара вращающихся со­седей-электронов взаимодействует друг с другом и что каж­дое такое взаимодействие добавляет в энергию системы по сла­гаемому;

Здесь sпредставляют собой спины, а суммирование идет по всем парам соседей-электронов. Мы уже говорили о по­добной энергии взаимодействия, рассматривая сверхтонкое расщепление водорода, вызываемое взаимодействием магнитных моментов электрона и протона в атоме водорода. Тогда мы выра­жали это в виде Аsе·sр. На этот раз для данной пары, скажем для электронов из атома № 4 и из атома № 5, гамильтониан имеет вид —Ks4·s5. Каждая такая пара дает по одному слагае­мому, а весь гамильтониан (как это бывает и с классическими энергиями) есть сумма таких слагаемых для каждой взаимо­действующей пары. Энергия написана с множителем —К, так что положительное К отвечает ферромагнетизму, т. е. тому слу­чаю, когда наинизшая энергия получается при параллельности соседних спинов. В реальном кристалле могут появиться и другие слагаемые — взаимодействие с соседом через одного и т. д., но на нашем уровне такие усложнения нам не пона­добятся.

Располагая гамильтонианом (13.1), мы обладаем и полным описанием ферромагнетика (в рамках нашего приближения), так что из него должны получиться все магнитные свойства. Кроме того, из него же должны получаться и термодинамические свойства при намагничивании. Если мы сможем определить все уровни энергии, то можно будет найти и свойства кристалла при температуре Т, основываясь на том, что для системы вероят­ность оказаться в данном состоянии с энергией Е пропорцио­нальна

Некоторые задачи мы сможем разобрать на простом примере, когда все атомы лежат на одной прямой — случай одномерной решетки. Все эти представления вы потом легко сможете распро­странить на трехмерную решетку. Возле каждого атома имеется электрон; у него есть два возможных состояния — либо спином вверх, либо вниз, и вся система описывается перечислением на­правлений спинов. В качестве гамильтониана системы возьмем оператор энергии взаимодействия. Интерпретируя спиновые векторы (13.1) как сигма-операторы, или сигма-матрицы, мы напишем для линейной решетки