Шрифт:
Теперь поглядим, можем ли мы графически построить решение для функции а(х), отвечающей частице с энергией Еа при потенциале V, показанном на фиг. 14.5. Раз нас интересует такое положение, когда частица заключена внутри потенциальной ямы, то мы будем искать решения, при которых амплитуда волны принимает после удаления х за пределы потенциальной ямы очень малые значения. Мы очень легко можем представить себе кривую наподобие изображенной на фиг. 14.5, стремящуюся к нулю при больших отрицательных х и плавно поднимающуюся при приближении к х1. Поскольку V в точке х1равно Еа, то кривизна функции в этой точке равна нулю. Между х1и х2 величина V-Еавсегда отрицательна, так что функция а(х) все время вогнута к оси, а кривизна тем больше, чем больше разность между Еаи V. Если продолжить кривую в область между x1и x2, ей придется идти примерно так, как на фиг. 14.5.
Фиг. 14.5. Волновая функция для энергии Е а , стремящаяся к нулю при удалении х в отрицательную сторону.
Теперь протянем эту кривую правее х2. Там она искривляется прочь от оси и движется к большим положительным значениям (фиг. 14.6).
Фиг. 14.6. Волновая функция а(х) (см. фиг. 14.5), продолженная за x 2 .
Для выбранной нами энергии Еарешение a(х)с ростом х растет все сильнее и сильнее. Действительно, ведь и кривизна решения а(х)тоже возрастает (если потенциал остается почти постоянным). Амплитуда круто вырастает до гигантских масштабов. Что это означает? Просто что частица не «связана» потенциальной ямой. Обнаружить ее вне ямы бесконечно более вероятно, чем внутри. Для изготовленного нами решения гораздо более вероятно встретить электрон в x=+Ґ, чем где-либо еще. Найти решение для связанной частицы нам не удалось.
Что ж, попробуем взять другую энергию, скажем, чуточку повыше чем Еа, например Еb(фиг. 14.7).
фиг. 14.7. Волновая функция а(х) для энергии e b , большей чем Е а .
Если слева условия останутся теми же, то мы придем к решению, показанному на нижней части фиг. 14.7. На первых порах оно выглядит получше, нов конце концов оказывается таким же плохим, как и решение для Еа, только теперь при возрастании x величина а(х) становится все более и более отрицательной.
Может быть, в этом разгадка! Раз небольшое изменение энергии от Еак Еbприводит к тому, что кривая перебрасывается с одной стороны оси на другую, то, может быть, существует энергия, лежащая между Еаи Еb, при которой кривая для больших х будет стремиться к нулю. Так оно и есть, и мы на фиг. 14.8 изобразили, как может выглядеть решение.
Фиг. 14.8. Волновая функция для анергии Е c между Е а и Е b .
Вам нужно понимать, что решение, показанное на рисунке, это весьма частное решение. Если бы мы даже чуть-чуть подняли или снизили энергию, то функция перешла бы в другие кривые, похожие на одну из штриховых кривых фиг. 14.8, и опять для связанной частицы не получилось бы надлежащих условий. Мы пришли к выводу, что если частица должна находиться в потенциальной яме, то это может с ней случиться только при вполне определенной энергии.
Значит ли это, что у частицы, находящейся в связанном состоянии в потенциальной яме, может быть только одна энергия? Отнюдь. Могут быть и другие, но не слишком близко к Ес. Обратите внимание, что волновая функция на фиг. 14.8 четыре раза пересекает ось на участке х1х2. Если бы мы выбрали энергию значительно ниже Ес, то могло бы получиться решение, которое бы пересекло ось только трижды, только дважды, только единожды или ни разу. Возможные
решения намечены на фиг. 14.9.
Фиг. 14.9. Функция а(х) для пяти связанных состояний с наинизшими энергиями.
(Могут быть и решения, отвечающие более высоким энергиям.) Вывод состоит в том, что если частица загнана в потенциальную яму, то ее энергия принимает только определенные специальные значения, образующие дискретный энергетический спектр. Вы понимаете теперь, как способно дифференциальное уравнение описать этот основной факт квантовой физики.