Шрифт:
(17.35)
Это соотношение имеет форму уравнения движения Ньютона для частицы в одном измерении. Поэтому мы можем исследовать его по принципу «одинаковые уравнения имеют одинаковые решения». Таким образом, если поставить в соответствие напряжение Vот внешнего источника приложенной внешней силе F, а ток I в катушке скорости v частицы, то коэффициент индукции катушки жбудет соответствовать массе т частицы (фиг. 17,10, б).
Таблица 17.1 · СОПОСТАВЛЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 8. Индуктивность и магнитная энергия
Продолжая аналогию предыдущего параграфа, мы отметили в таблице, что в соответствии с механическим импульсом p=mv (скорость изменения которого равна приложенной силе) должна существовать аналогичная величина, равная
ж I, скорость изменения которой V. Разумеется, мы не имеем права говорить, что ж I — это настоящий импульс цепи; на самом деле это вовсе не так. Вся цепь может быть неподвижна и вообще не иметь импульса. Просто ж Iаналогично импульсу mv в смысле удовлетворения аналогичным уравнениям.
Точно так же кинетической энергии 1/2mv2 здесь соответствует аналогичная величина 1/2ж 2. Но здесь нас ждет сюрприз. Величина 1/2aж I2 — действительно есть энергия и в электрическом случае. Так получается потому, что работа, совершаемая в единицу времени над индуктивностью, равна VI, а в механической системе она равна Fv — соответствующей величине. Поэтому в случае энергии величины не только соответствуют друг другу в математическом смысле, но имеют еще и одинаковое физическое значение.
Мы можем проследить это более подробно. В (17.16) мы нашли, что электрическая работа в единицу времени за счет сил индукции есть произведение э. д. с. и тока:
Подставляя вместо e ее выражение через токи из (17.34), имеем
(17.38)
Интегрируя это уравнение, находим, что энергия, которая требуется от внешнего источника, чтобы преодолеть э. д. с. самоиндукции и создать ток (что должно равняться накопленной энергии U), равна
(17.37)
Поэтому энергия, накопленная в индуктивности, равна 1/2ж I2.Применяя те же рассуждения к паре катушек, изображенных на фиг. 17.8 или 17.9, мы можем показать, что полная электрическая энергия системы дается выражением
(17.38)
В самом деле, начиная с тока I=0 в обеих катушках, можно вначале включить ток I1 в катушке 1, оставляя I2=0. Совершенная работа как раз равна l/2ж 1l12. Но теперь, включая I2, мы совершаем не только работу 1/2ж 2I22 против э. д. с. в цепи 2, но еще и добавочное количество работы —m I1I2, которая есть интеграл
от э. д. с. m(dIz/dt) в цепи 1, умноженный на теперь уже постоянный ток I1 в этой цепи.
Пусть теперь нам нужно найти силу между любыми двумя катушками, по которым идут токи I1 и I2. Прежде всего мы могли бы использовать принцип виртуальной работы, взяв вариацию от энергии (17.38). Мы должны помнить, конечно, что при изменении относительного положения катушек единственной меняющейся величиной является коэффициент взаимной индукции m. Тогда мы могли бы записать уравнение виртуальной работы в виде
Это уравнение ошибочно, потому что, как мы видели раньше, в него включено только изменение энергии двух катушек и не включена энергия источников, которые поддерживают постоянными значения токов I1и I2. Мы понимаем теперь, что эти источники должны поставлять энергию для компенсации индуцированных э. д. с. в катушках во время их движения. Если мы хотим правильно применить принцип виртуальной работы, то должны включить и эти энергии. Но мы видели, что можно сделать и короче — использовать принцип виртуальной работы, помня, что полная энергия — это взятая с обратным знаком энергия Uмех (то что мы называем «механической энергией»). Поэтому силу можно записать в виде
(17.39)
Тогда сила между катушками дается выражением
Воспользуемся выражением (17.38) для энергии системы из двух катушек, чтобы показать, какое интересное неравенство существует между взаимной индукцией m и коэффициентами самоиндукции ж 1 и ж 2двух катушек. Ясно, что энергия двух катушек должна быть положительной. Если мы начинаем с нулевых токов в обеих катушках и увеличиваем эти токи до некоторых значений, то тем самым мы увеличиваем энергию всей системы. В противном случае токи самопроизвольно возрастут и будут отдавать энергию остальному миру — вещь невероятная! Далее, наше выражение для энергии (17.38) можно с