Шрифт:
Перед нами все еще стоит задача расчета электрического поля и доказательства того, что оно совпадает с (21.1'). Правда, уже чувствуется, что на больших расстояниях ответ получится такой, как надо. Мы знаем, что вдали от источников, где возникает распространяющаяся волна, Е перпендикулярно к В (и к r), как на фиг. 21.4, и что с В=Е. Значит, Е пропорционально ускорению р", как и предсказывалось формулой (21.1').
Чтобы получить электрическое поле на всех возможных расстояниях, нужно найти электростатический потенциал. Когда мы подсчитывали интеграл токов для А, желая получить (21.18), то сделали приближение: мы пренебрегли малозаметным изменением r в члене с запаздыванием. Для электростатического потенциала этого делать нельзя, потому что тогда у нас получилось бы {/r, умноженное на интеграл от плотности заряда, т. е. на константу. Такое приближение чересчур грубо. Надо обратиться к высшим порядкам. И вместо того, чтобы путаться в этих прямых расчетах высших приближений, можно поступить иначе — определить скалярный потенциал из равенства (21.6), используя уже найденное значение векторного потенциала. Дивергенция А в этом случае просто равна dAJdz, поскольку Ахи Ayтождественно равны нулю. Дифференцируя точно так же, как это делалось выше при вычислении В, получаем
Или в векторных обозначениях
Из равенства (21.6) получается уравнение для j:
Интегрирование по t просто убирает надо всеми р по одной точке:
(Постоянная интегрирования отвечала бы некому наложенному статическому полю, которое, конечно, может существовать, но мы считаем, что у выбранного нами колеблющегося диполя статического поля нет.) Теперь мы можем из
найти электрическое поле Е. После утомительных (хоть и прямых) выкладок [при этом нужно помнить, что p(t-r/с) и его производные по времени зависят от х, у и z через запаздывание r/с] мы получаем
где
(21.27)
Это выглядит довольно сложно, но интерпретируется просто. Вектор р* — это дипольный момент с запаздыванием и с «поправкой» на запаздывание, так что два члена с р* в (21.26) при малых r дают просто статическое поле диполя [см. гл. 6 (вып. 5), выражение (6.14)]. Когда rвелико, то член с р преобладает над остальными, и электрическое поле пропорционально ускорению зарядов в направлении поперек r и само направлено вдоль
проекции р на плоскость, перпендикулярную к r.
Этот результат согласуется с тем, что мы получили бы, применяя формулу (21.1'). Конечно, эта формула — более общая; она годится для любого движения, а не только для малозаметных движений, для которых запаздывание r/с в пределах всего источника можно считать постоянным [как (21.26)]. Во всяком случае, теперь мы укрепили столбами все наше прежнее изложение свойств света, за исключением лишь некоторых вопросов из гл. 34 (вып. 3), которые связаны с последней частью выражения (21.26). Мы можем теперь перейти к получению поля быстродвижущихся зарядов. Это приведет нас к релятивистским эффектам [гл. 34 (вып. 3)].
§5. Потенциалы движущегося заряда; общее решение Льенара и Вихерта
В предыдущем параграфе мы пошли на упрощение при вычислении интеграла для А, рассматривая только небольшие скорости. Но при этом мы шли таким путем, которым легко можно прийти и к новым выводам. Поэтому сейчас мы заново предпримем расчет потенциалов точечного заряда, движущегося уже, как ему захочется (даже с релятивистской скоростью). Как только мы получим этот результат, у нас в руках окажутся электромагнитные свойства электрических зарядов во всей их полноте. Даже формулу (21.1') можно будет тогда легко получить, взяв только нужные производные. И наш рассказ удастся, наконец, довести до конца. Итак, запаситесь терпением!
Попробуем подсчитать в точке (х1, у1, z1) скалярный потенциал j(1), создаваемый точечным зарядом (вроде электрона), движущимся любым, каким угодно образом. Под «точечным» зарядом подразумевается очень маленький заряженный шарик, такой маленький, как только можно себе представить, с плотностью заряда р(х, у, z). Потенциал j можно найти из (21.15):
(21.28)
На первый взгляд кажется (и почти все так и подумают), что ответ состоит в том, что интеграл от r по такому «точечному» заряду равен просто общему заряду q, т. е. что
Через r'12здесь обозначен радиус-вектор от заряда в точке (2) к точке (7), измеренный в более раннее время (t—r12/c). Эта формула ошибочна.
Фиг. 21.5. «Точечный» заряд (рассматриваемый как небольшое распределение зарядов в форме куба), движущийся со скоростью v к точке (1).
Правильный ответ такой:
(21.29)
где vr' — компонента скорости заряда, параллельная r12, т. е. направленная к точке (1). Сейчас я объясню, почему это так. Чтобы легче было следить за моими доводами, я сперва проведу расчет для «точечного» заряда в форме небольшого заряженного кубика, который движется к точке (1) со скоростью v(фиг. 21:5). Сторона куба будет а, это число пусть будет много меньше r12 [расстояния от центра заряда до точки (1)].