Рис. 105

Пенроуз продолжил изыскания в области мозаик и в трехмерном пространстве. Двумерные плитки замощают плоскость, а трехмерные «кирпичи» заполняют пространство. В 1976 году математик Роберт Амманн обнаружил пару «кирпичей» (рис. 106), «сплюснутый» и «растянутый», так называемые ромбоэдры, которыми можно заполнить пространство без промежутков. Более того, Амманн сумел доказать, что при наличии набора правил о сочетаемости граней получается непериодический узор, обладающий симметрическими свойствами икосаэдра (Рис. 20, e; это эквивалент пятисторонней симметрии в трех измерениях, поскольку на каждой вершине сходятся пять симметричных ребер). Не стоит удивляться, что эти два ромбоэдра – это золотые ромбоэдры, и их грани идентичны ромбам в плитках Пенроуза (рис. 101).

Рис. 106

Плитки Пенроуза так и держались бы в относительной тени, оставшись уделом занимательной математики, если бы не сенсационное открытие 1984 года. Израильский инженер, специалист по сопротивлению материалов Дан Шехтман с коллегами обнаружили, что кристаллы сплава марганца и алюминия обладают и дальним порядком, и пятисторонней симметрией. Это был настоящий переворот в кристаллографии: примерно такой же сенсацией для зоологов стало бы обнаружение стада пятиногих коров. Физики-твердотельщики и кристаллографы много десятков лет пребывали в убеждении, что твердые тела могут принимать лишь две основные формы – или полностью периодические кристаллы, структура которых строго упорядочена, или совершенно аморфные тела. В упорядоченных кристаллах, например, в привычной нам поваренной соли, атомы или группы атомов составляют узор, который в точности повторяется, и эти повторяющиеся узоры называются элементарными ячейками и формируют периодические структуры. Например, в случае соли элементарная ячейка – куб, каждый атом хлора окружен соседними атомами натрия и наоборот, каждый атом натрия оказывается окружен атомами хлора (рис. 107). Это очень похоже на идеально замощенный плитками пол: положение и ориентация каждой элементарной ячейки однозначным образом определяет общий узор. А в аморфных материалах, например, в стекле, атомы совершенно дезорганизованы. Считалось, что раз периодически замостить плоскость без промежутков могут только фигуры вроде квадратов – с четырехсторонней симметрией, – равносторонних треугольников – с трехсторонней симметрией, – и правильных шестиугольников – с шестисторонней симметрией, значит, в природе существуют исключительно кристаллы с двух-, трех-, четырех– и шестисторонней симметрией. Кристаллы Шехтмана вызвали совершеннейшую оторопь, поскольку обладали не просто строго упорядоченной структурой, как периодические кристаллы, но и пятисторонней (икосаэдральной) симметрией. До этого открытия мало кто подозревал, что возможно состояние материи, обладающее важными свойствами как кристаллических, так и аморфных субстанций. Новую разновидность кристаллов (после открытия Дана Шехтмана были найдены и другие сплавы алюминия) называют теперь квазикристаллами: они не аморфны, как стекло, но и не совсем периодичны, как соль. Иначе говоря, эти необычные материалы обладают теми же свойствами, что и мозаики Пенроуза! Однако от этого понимания как такового физикам нет особого толка: они хотят разобраться, как и почему формируются квазикристаллы. Правила сочетаемости Пенроуза и Амманна в данном случае не более чем хитроумное математическое упражнение, которое вовсе не объясняет поведения атомов или групп атомов в природе. В частности, трудно представить себе энергетическую конфигурацию, допускающую существование двух типов групп атомов (подобно двум ромбоэдрам Аммана) именно в той пропорции, которая обеспечивает наблюдаемую плотность.

Рис. 107

Вероятное объяснение было найдено в 1991 году, когда математик Сергей Емельянович Бурков из Института теоретической физики им. Ландау в Москве обнаружил, что для квазипериодического замощения плоскости не обязательно нужны плитки двух видов. Бурков доказал, что квазипериодичности можно добиться даже при помощи одной плитки десятиугольной формы, если допустить, чтобы плитки перекрывались: такое свойство ранее не допускалось при замощениях плоскости. Пять лет спустя немецкий математик Петра Гуммельт из Университета имени Эрнста Морица Арндта в городе Грайфсвальд убедительно доказала, что мозаику Пенроуза можно получить при помощи одного «раскрашенного» десятиугольника в сочетании с конкретным правилом, допускающим перекрывание: два десятиугольника могут накладываться друг на друга, только если при этом перекрываются темные участки рисунка (рис. 108). Этот десятиугольник также имеет прямое отношение к золотому сечению: радиус круга, в который вписан правильный десятиугольник со стороной 1, равен .

Рис. 108

Работа Гуммельт позволила, наконец, преобразовать математику в физику. Физики Пол Стейнхардт из Принстонского университета и Хён-Цай Джун из Университета Седжун в Сеуле показали, что чисто математические законы перекрывания плиток вполне можно перевести в физическую картину, где «квазиединичные ячейки» представляют собой группы атомов, просто обладают общими атомами. Стейнхардт и Джун предположили, что квазикристаллы – это структуры, где идентичные группы атомов, то есть квазиединичные ячейки, делят некоторые атомы с соседками, а узор, который при этом образуется, обеспечивает максимальную плотность. Иначе говоря, квазипериодическая упаковка порождает систему более стабильную (больше плотность, меньше энергия), чем любая другая. В 1998 году Стейнхардт, Джун и их коллеги попытались экспериментально подтвердить свою модель. Они бомбардировали квазикристаллический сплав алюминия, никеля и кобальта рентгеновскими и электронными лучами. Полученные в результате рассеяния лучей изображения поразительно соответствовали картине перекрывающихся десятиугольников. Это видно на рис. 109, где на получившийся результат наложили узор из десятиугольных плиток. Последующие эксперименты, однако, дали не такой однозначный результат. Тем не менее, сохраняется общее впечатление, что модель Стейнхардта-Джонга объясняет устройство квазикристаллов.

Рис. 109

Рис. 110

Изображения поверхности квазикристаллов, сделанные в 1994 и 2001 году, продемонстрировали еще одно чудесное свойство, которое связывает их структуру с золотым сечением. При помощи сканирующего туннельного микроскопа ученые из Базельского университета в Швейцарии и лаборатории Университета штата Айова в городе Эймс сумели получить высококачественные изображения поверхности квазикристаллов из сплава алюминия, меди и железа и алюминия, палладия и марганца. На изображениях видны плоские «террасы» (рис. 110), которые спускаются либо высокими, либо низкими ступеньками (конечно, и те, и те измеряются стомиллионными долями дюйма). Так вот, оказалось, что отношение этих высот равно золотому сечению!

Квазикристаллы – великолепный пример того, как какая-то концепция начиналась в сфере чистой математики (была основана на золотом сечении), а потом оказалось, что она объясняет самый что ни на есть реальный природный феномен. Но самое поразительное даже не это, а то, что – в данном конкретном случае – начало концепции было положено в сфере занимательной математики. Как математикам удалось «предвосхитить» грядущие открытия физиков? Этот вопрос становится еще более интересным, если вспомнить, что пятисторонней симметрией интересовались еще Дюрер и Кеплер в XVI и XVII веке. Так, может быть, даже самые отвлеченные математические темы когда-нибудь найдут воплощение в объяснении природных явлений или в творениях рук человеческих? К этому вопросу мы вернемся в главе 9.

Еще одна удивительная деталь в истории с квазикристаллами – это личности двух теоретиков, которые их исследовали. И Пенроуз, и Стейнхард по большей части занимались космологией, изучали Вселенную в целом. Пенроуз – это тот самый ученый, который обнаружил, что общая теория относительности Эйнштейна предсказывает свои собственные особые точки, где сила тяжести становится бесконечной. Эти математические сингулярности соответствуют космическим объектам, которые мы называем черными дырами – объектам столь огромной массы, что она сжимается до неимоверной плотности и ее гравитации становится достаточно, чтобы не выпускать из черной дыры ни свет, ни массу, ни энергию. В последние четверть века наблюдения показали, что черные дыры – отнюдь не воображаемая теоретическая концепция, а самые что ни на есть реальные космические объекты. Недавние наблюдения двух крупных космических обсерваторий – космического телескопа им. Хаббла и рентгеновской обсерватории «Чандра» – показали, что черные дыры даже не так уж редки. Более того, в центре большинства галактик таятся исполинские черные дыры с массой от нескольких миллионов до нескольких миллиардов масс нашего Солнца. Наличие черных дыр определяется по гравитационному воздействию, которое они оказывают на звезды и газ, расположенные по соседству. Согласно общепринятой теории Большого Взрыва, которая описывает происхождение всей нашей Вселенной, мироздание в целом начало расширяться именно с такой сингулярности – с состояния необычайно высокой плотности и температуры. Пол Стейнхардт был одним из главных действующих лиц при разработке так называемой инфляционной модели Вселенной. Согласно этой модели, которую первым предложил физик Алан Харви Гут из Массачусетского технологического института, когда возраст Вселенной составлял всего крошечную долю секунды (если точно, то 0,000…1 с, где 1 стоит на 35 месте после запятой), она претерпела фантастически стремительное расширение, увеличившись в размере более чем в 1030 раз (это единица с 30 нулями) за долю секунды. Эта модель объясняет несколько свойств нашей Вселенной, которые иначе объяснить было бы затруднительно, например, тот факт, что она практически одинаково выглядит, куда ни посмотри, то есть исключительно изотропна.

В 2001 году Стейнхардт и его коллеги предложили новую версию зарождения Вселенной; эта модель получила название «экпиротический сценарий», от греческого слова, которое означает «внезапная вспышка пламени». Согласно этой модели, которая на сегодняшний день остается во многом спекулятивной, Большой Взрыв произошел, когда столкнулись две трехмерные Вселенные, двигавшиеся по какому-то другому, скрытому измерению.

Так вот, интересный вопрос: почему эти два выдающихся космолога решили побаловаться занимательной математикой – и перешли к квазикристаллам?