Главное свойство многих естественных фракталов, от деревьев до кристаллов, – ветвистость. Изучим сильно упрощенную модель этого вездесущего явления. Начнем с ветки единичной длины, которая разделяется на две ветки длиной 1/2, расходящиеся под углом в 120 градусов (рис. 115). Затем каждая ветка разделяется подобным же образом, и процесс продолжается бесконечно.

Рис. 115

Если бы вместо коэффициента сокращения длины 1/2 мы выбрали число чуть больше, ну, скажем, 0,6, расстояние между ветками несколько сократилось бы и рано или поздно ветки начали бы накладываться друг на друга. Очевидно, имело бы смысл поискать, какой коэффициент сокращения обеспечит во многих системах (скажем, в дренажной системе или в кровеносной системе человека) такую конфигурацию, чтобы ветки только касались друг друга и начинали перекрываться, как на рис. 116. Как ни странно, а может быть, теперь уже и не странно, оказалось, что такой коэффициент в точности равен 1/ = 0,618…! (Краткое доказательство см. в Приложении 8). Это называется золотое дерево, и его фрактальное измерение, как выяснилось, примерно равно 1,4404. У золотого дерева и подобных фракталов, составленных из простых линий, структура после нескольких разветвлений становится такой мелкой, что невооруженным глазом ее не разглядеть. Отчасти эту проблему можно решить, если вместо линий использовать двумерные геометрические фигуры вроде «лодочек» (рис. 117). Можно на каждом этапе прибегать к помощи копировальной машины с функцией уменьшения изображения, чтобы получать «лодочки», сокращенные с коэффициентом 1/. Результат – золотое дерево из «лодочек» – показан на рис. 118.

Рис. 116

Рис. 117

Можно строить фракталы не только из линий, но и из простых плоских фигур вроде треугольников и квадратов. Например, начнем с равностороннего треугольника со стороной единичной длины и к каждому его углу достроим новый треугольник с длиной стороны 1/2. На каждом свободном угле треугольников второго поколения достроим треугольник со стороной 1/4 и так далее (рис. 119). Опять же можно задаться вопросом, при каком коэффициенте уменьшения три ветви начнут соприкасаться, как на рис. 120, и ответ снова получится равным 1/. В точности то же самое произойдет, если построить похожий фрактал на основе квадрата (рис. 121) – перекрывание начинается при коэффициенте сокращения 1/ = 0,618… (рис. 122).

Рис. 118

Рис. 119

Рис. 120

Рис. 121

Рис. 122

Более того, все незакрашенные белые прямоугольники на последнем рисунке – это золотые прямоугольники. Таким образом, мы обнаруживаем, что хотя в евклидовой геометрии золотое сечение выводится из правильного пятиугольника, в геометрии фракталов оно связано даже с более простыми фигурами вроде квадратов и равносторонних треугольников. Свыкнувшись с этой концепцией, вы поймете, что мир вокруг битком набит фракталами. В терминах фрактальной геометрии можно описать самые разные предметы – от контуров леса на фоне неба до системы кровеносных сосудов в почке. Если окажется верной одна из моделей Вселенной, которая называется хаотической теорией инфляции, значит, фрактальные закономерности характерны для Вселенной в целом. Объясню суть этой концепции в самых общих чертах. Теория космической инфляции, которую выдвинул Алан Гут, предполагает, что когда нашей Вселенной была всего доля секунды от роду, наше пространство практически мгновенно раздулось до пределов, далеко превосходящих возможности наших телескопов. Движущая сила, стоявшая за этим колоссальным расширением, – весьма необычное состояние материи под названием «ложный вакуум». Эту ситуацию можно уподобить мячу, лежащему на вершине пологого холма, как на рис. 123. Дело в том, что пока Вселенная оставалась в состоянии ложного вакуума, то есть мяч лежал на вершине холма, она расширялась очень быстро, вдвое увеличиваясь в размерах за крошечную долю секунды. Стремительное расширение прекратилось, лишь когда мяч скатился с холма в низкоэнергетическую «канаву» у подножия (которая символически отражает тот факт, что ложный вакуум распался).

Рис. 123

Согласно инфляционной модели, так называемая «наша» Вселенная пребывала в состоянии ложного вакуума очень недолго и все это время расширялась в фантастическом темпе. Затем ложный вакуум распался, и наша Вселенная стала расширяться куда более лениво, что мы и наблюдаем сегодня. Вся энергия и субатомные частицы нашей Вселенной были созданы во время осцилляции, последовавшей за распадом (схематически это отражено в третьей части рис. 123). Однако модель космической инфляции предсказывает также, что темп расширения в состоянии ложного вакуума гораздо стремительнее темпа распада. Следовательно, судьбу области ложного вакуума можно схематически проиллюстрировать рис. 124. Вселенная начинается с участка ложного вакуума. С течением времени какая-то часть этого участка (на рисунке – треть) распадается и порождает «карманную вселенную» вроде нашей. Одновременно участки, остающиеся в состоянии ложного вакуума, продолжают расширяться, и ко времени, которое схематически отражено второй строкой на рис. 124, каждый из них приобретает те же размеры, что и вся система из первой строки (масштаб на рисунке не соблюден из соображений экономии места). Время течет дальше, мы переходим от второй строки к третьей, центральная карманная вселенная продолжает медленно развиваться согласно общепринятой теории Большого Взрыва. Однако каждый из двух оставшихся участков ложного вакуума развивается в точности так же, как и первоначальный участок ложного вакуума: часть его распадается, и возникает карманная вселенная. Каждый участок ложного вакуума расширяется до размеров системы из верхней строчки (рисунок опять же не в масштабе). Таким образом создается бесконечное количество карманных Вселенных – и фрактальный узор: одна и та же последовательность участков ложного вакуума и карманных вселенных повторяется в постоянно уменьшающемся масштабе. Если выяснится, что эта модель и в самом деле отражает эволюцию Вселенной в целом, значит, наша карманная Вселенная – всего лишь одна из бесчисленного множества существующих карманных вселенных.

Рис. 124

В 1990 году профессор Джаспер Мемори из Университета Северной Каролины опубликовал в «Mathematics Magazine» стихотворение под названием «Блейк и фракталы». Вспомнив уже цитировавшиеся строки Блейка «В одном мгновенье видеть вечность, / Огромный мир – в зерне песка, / В единой горсти – бесконечность / И небо – в чашечке цветка», Мемори написал:

Некоторые современные методы применения золотого сечения, чисел Фибоначчи и фракталов распространяются на области куда более приземленные, чем модель космической инфляции. Более того, многие считают, что эти методы буквально бьют нас по карману.

Числа Фибоначчи и золотое сечение, оказывается, сплошь и рядом применяют при анализе рынка ценных бумаг, и самый известный метод их применения связан с именем Ральфа Нельсона Эллиотта(1871–1948). По профессии Эллиотт был бухгалтер и занимал высокие посты в различных железнодорожных компаниях, в основном в Центральной Америке. В 1929 году он был вынужден удалиться от дел, так как был прикован к постели из-за серьезной болезни желудка. Чтобы чем-то заняться, Эллиотт начал подробнейшим образом анализировать все взлеты и падения промышленного индекса Доу-Джонса. За свою жизнь Эллиотт успел повидать и стремительный рост цен на рынке ценных бумаг в двадцатые годы, и последовавшую за этим Великую Депрессию. Подробный анализ подтолкнул его к выводу, что колебания рынка не случайны. В частности, он отметил: «Рынок ценных бумаг – творение человека, поэтому он отражает все человеческие особенности». Главное наблюдение Эллиотта заключалось в том, что в конечном итоге закономерности колебаний рынка отражают циклы оптимизма и пессимизма у человека.

Девятнадцатого февраля 1935 года Эллиотт отправил в один детройтский журнал, публиковавший статьи о фондовом рынке, трактат под названием «Теория волн» (Ralph Nelson Elliott. The Wave Principle). Эллиотт полагал, что вывел характерные черты, которые «составляют принцип, определяющий рыночный тренд, и позволяющий заметить ясные признаки надвигающихся перемен». Впоследствии трактат составил книгу под тем же названием, увидевшую свет в 1938 году.

Основная идея Эллиотта была относительно проста. Он утверждал, что за колебаниями рынка стоит фундаментальная закономерность, состоящая из пяти волн за период тренда роста (оптимистического тренда) – на рис. 125 они отмечены номерами – и трех волн за период тренда падения (пессимистического тренда) – на том же рис. 125 они отмечены буквами. Обратите внимание, что 5, 3 и 8 – общее число волн – это числа Фибоначчи. Далее Эллиот утверждал, что изучение флуктуаций на более коротком интервале времени выявляет повторение той же закономерности (рис. 126), и количество мелких волн, составляющих крупные, соответствуют последующим числам Фибоначчи. Эллиот считал, что «самое большое число, имеющее практический смысл», – это 144, при котором рыночный цикл завершается, и это выглядит следующим образом. За общим трендом роста, который состоит из пяти крупных волн, двадцати одной средней волны и восьмидесяти девяти мелких волн, следует общий тренд падения, состоящий из трех крупных, тринадцати средних и пятидесяти пяти мелких волн (рис. 126).