Золотое сечение есть продукт геометрии, которую изобрели люди. Однако люди не представляли себе, в какую волшебную страну заведет их это изобретение. Если бы мы не изобрели геометрию, то, вероятно, вообще не знали бы ничего о золотом сечении. Однако – кто знает? – возможно, мы получили бы его в результате работы короткой компьютерной программы.

Мы хотим доказать, что для любых целых чисел p и q, таких, что p > q, три числа: p2 – q2; 2pq; p2 + q2 формируют пифагорову тройку. Иначе говоря, нам надо доказать, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего.

Для этого мы обратимся к общим формулам сокращенного умножения, справедливым для любых a и b:

(a + b)2 = (a + b) x (a + b)= a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = (a – b) x (a – b)= a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab – b2.

На основании этих формул квадрат первого числа равен

(p2 – q2)2 = p4 – 2p2q2 + q4.

Сумма первых двух квадратов равна

p4 – 2p2q2 + q4 + 4p2q2 = p4 + 2p2q2 + q4.

Квадрат третьего числа равен

(p2 + q2)2 = p4 + 2p2q2 + q4.

Итак, мы видим, что квадрат третьего числа равен сумме квадратов первых двух чисел независимо от значений p и q.

Мы хотим доказать, что диагональ и сторона правильного пятиугольника несоизмеримы, то есть у них нет общей меры.

Общий принцип доказательства по методу reductio ad absurdum приведен в конце главы 2.

Обозначим сторону правильного пятиугольника ABCDE как s1, а диагональ – как d1. Из свойств равнобедренных треугольников легко вывести, что AB = AH и HC = HJ. Теперь обозначим сторону меньшего правильного пятиугольника FGHIJ как s2 и его диагональ как d2. Очевидно, что

AC= AH + HC= AB + HJ.

Следовательно,

d1 = s1 + d2 или d1 – s1 = d2.

Если у d1 и s1есть какая-либо общая мера, значит, и d1, и s1представляют собой целое произведение этой общей меры. Следовательно, существует также общая мера d1 – s1, то есть d2. Подобным же образом равенства

AG= HC= HJ

AH= AB

и

AH= AG+ GH

AB= HJ+ GH

дают нам

s1 = d2 + s2