Некоторые из следующих формул, которым соответствуют числа k2, k3,… kn  будут аксиомами, другие — нет. Для тех, что не являются аксиомами, нужно показать, что они выводятся из предыдущих высказываний по допустимым правилам вывода. В своей скрупулезно выполненной работе Гёдель доказывает, что для каждого правила вывода существует формула I, которая для первых s чисел k1, k2,… ks возвращает результат «истина», если формула, обозначаемая числом Гёделя ks, выводится из формул, обозначаемых числами Гёделя k1, k2,… ks -1 (предшествующей формулы), по соответствующему правилу вывода. Например, I(k1, k2, k3, k4) будет истинной, если четвертая формула последовательности выводится из трех предыдущих по правилу вывода, обозначаемому формулой I. Таким образом, этот процесс можно выполнить для формул, которые не являются аксиомами, и если для каждой из них формула, обозначающая хотя бы одно из правил вывода, вернет значение «истина», то первый этап будет успешно завершен, и z будет числом Гёделя, обозначающим доказательство. Так как здесь нетрудно запутаться в технических деталях, выделим главное: нужно запомнить, что мы доказали существование процесса D(х, z), определяющего, является ли последовательность формул, обозначаемая числом z, доказательством высказывания, которому соответствует число Гёделя х.

Для этого достаточно выразить в виде отношений между числами правила, которым должно удовлетворять доказательство, что мы уже не раз повторили.

Отлично: в рамках арифметики мы сформулировали высказывание Dem (х), которое гласит: «формула, выражаемая числом Гёделя х, доказуема». Отрицанием этой формулы будет ¬ Dem (х), которая звучит так: «формула, выражаемая числом Гёделя х, недоказуема». Пока что все абсолютно понятно, но мы постепенно приближаемся к тому, чтобы совершить своеобразное сальто-мортале. Сначала следует напомнить, что высказывание «арифметика является непротиворечивой», которое фигурирует во второй теореме о неполноте, равносильно высказыванию «формула 0 = 1 недоказуема». Напомним также, что 1 является числом, следующим за нулем, то есть 1 = s0. Предлагаем читателю убедиться, что число Гёделя для формулы 0 = 1 равно 255150. Следовательно, высказывание ¬ Dem (255150), переведенное на язык арифметики, гласит, что «формула, обозначаемая числом Гёделя 255150, недоказуема», то есть «формула 0 = 1 недоказуема», что равносильно высказыванию «арифметика непротиворечива». Высказывание ¬ Dem (х) позволяет убить сразу двух зайцев.

Важность выражения ¬ Dem (х) заключается в том, что это уже не высказывание на повседневном языке, а арифметическая формула, в которой используются только символы 0, s, ¬, V, =, (, ) и некоторые переменные. Буквы «Dem» — это лишь сокращенный способ записи этого выражения, так как его полная запись очень сложна и занимает не одну страницу. Однако если мы захотим найти его полную запись, то сможем сделать это, используя исключительно символы алфавита арифметики. И ради этого мы потратили столько сил! У нас нет никаких сомнений, что теперь читатель знает, что нужно сделать всякий раз, когда ему встретится записанная в таком виде формула: ее нужно записать согласно гёделевской нумерации. Сопоставим выражению ¬ Dem (х) число Гёделя, которое обозначим d. Возможно, это число будет настолько большим, что во всем мире не хватит чернил, чтобы записать его, однако его размер совершенно не важен — главное, что это число будет конечным.

Вся структура высказывания «формула, обозначаемая числом Гёделя х, недоказуема», содержится в единственном числе d. Параметр х не фиксирован, он не равняется, например, 14 451937 500, а может принимать любые значения. Но если этот параметр может принимать любые значения, почему бы умышленно не принять х равным d? В этом случае мы получим высказывание ¬ Dem (d), которое гласит, что «формула, выражаемая числом Гёделя d, недоказуема», но так как d, в свою очередь, является числом Гёделя, обозначающим высказывание «формула, выражаемая числом Гёделя х, недоказуема», ¬ Dem (d) преобразуется в высказывание «формула „формула, выражаемая числом Геделя х, недоказуема" недоказуема». Нетрудно видеть, что это высказывание означает не что иное, как «я недоказуемо» [4] .

* * *

Слева — правильное замощение плоскости, образованное одинаковыми правильными многоугольниками подобно пчелиным сотам. Справа — пример непериодического замощения.

* * *

Заключительный этап рассуждений, в котором мы доказали, что никакое непротиворечивое и рекурсивно перечислимое множество аксиом арифметики не может быть полным, очень точно воспроизводит сцену, когда ученики возвращаются из школы домой и плачут: «Мама, я никогда не буду логиком!», а остальные — «горсточка счастливцев», о которых писал Шекспир, — улыбаются до ушей. Мы хотим, чтобы читатель этой книги оказался в числе этих немногих. Хотя, возможно, нам не удалось достичь этой цели, и те, кто хочет закричать: «Мама, я никогда не буду логиком!» или отбросить книгу в сторону, поймут, что теоремы, о которых мы только что рассказали, не имеют ничего общего с фразой вида: «После того как Гёдель доказал, что не существует доказательства непротиворечивости арифметики Пеано, которое формулируется в терминах самой арифметики, политологи, наконец, поняли, почему следовало мумифицировать Ленина и выставить его на обозрение в Мавзолее».

Следует признать, что автор этой цитаты, французский эссеист Режи Дебре, известен своим воображением, но отнюдь не невежеством: он родился в 1940 году и изучал философию у Луи Альтюссера в Высшей нормальной школе Парижа. Он находился в тюремном заключении в Боливии, но был освобожден после начала международной кампании в его поддержку, в которой участвовали Жан-Поль Сартр и папа римский Павел VI — трудно найти более непохожих друг на друга людей. В свободное от политики время Дебре начал работу над своим трудом, сегодня насчитывающим около пятидесяти книг, среди которых «Происхождение политики», из которой и взята цитата о Ленине.

Пример Режи Дебре не единственный: другие интеллектуалы, например философы Жиль Делёз и Юлия Кристева, психоаналитик Жак Лакан и архитектурный критик Поль Вирильо, использовали прием, который французский философ Жак Бувресс называл «головокружением аналогий». Они выводят из логического высказывания, носящего сугубо технический характер, некий общий вывод, не имеющий никакого отношения к математике, но псевдонаучный вид которого, несомненно, произведет впечатление на читателя.

Гораций писал, что однажды выпущенное слово улетает безвозвратно. Помимо цитат, приведенных в этой книге, читатель может самостоятельно ознакомиться с оригинальными произведениями Юлии Кристевой, Режи Дебре, Жака Лакана, Жиля Делёза и Поля Вирильо и решить, являются их слова доказательством того, что не следует рассуждать о неизвестном, или, напротив, они как нельзя лучше подтверждают огромную притягательность некоторых теорем, которые — повторим вслед за Джоном фон Нейманом — являются вехой, видимой издалека, во времени и пространстве. Далее мы расскажем только о тех, кто прекрасно понимал, о чем говорит, и на сцену выходит один из величайших гениев в истории — Алан Мэтисон Тьюринг.