Шрифт:
Рис. 12
Рис. 13
Ультрафиолетовый свет, многозональная съемка и даже направленные рентгеновские лучи (ими манускрипт облучали на Стэнфордском линейном ускорителе) уже позволили расшифровать части рукописи, которые раньше были не видны. Сейчас, когда я пишу эти строки, тщательное научное изучение рукописи Архимеда идет полным ходом. Мне выпала честь познакомиться с группой криминалистов, которые изучают палимпсест, и на рис. 13 я стою рядом с экспериментальной установкой, в которой каждую страницу палимпсеста облучают в разных диапазонах. [29]
29
Уилл Ноэл, директор проекта, устроил мне встречу с Уильямом Кристенсом-Барри, Роджером Истоном и Кейт Нокс. Эта группа разработала узкополосную систему построения изображений и придумала алгоритм, при помощи которого можно хотя бы отчасти выявлять текст. Методы обработки изображений разрабатывали также Анна Тонаццини, Луиджи Бедини и Эмануэле Салерно.
Драма вокруг палимпсеста по своим масштабам вполне соответствует значению документа, который наконец-то позволил нам изучить научный метод великого геометра.
Метод
Когда читаешь любой древнегреческий геометрический трактат, невольно восхищаешься лаконичностью стиля и точностью формулировок и доказательств теорем, которым уже более двух тысяч лет.
Но чего в этих книгах точно не найдешь – это объяснений, каким образом эти теоремы пришли в голову автору. Выдающийся трактат Архимеда «Метод механических теорем» заполняет этот загадочный пробел – там рассказано, как сам Архимед убеждался в истинности некоторых теорем еще до того, как придумывал, как их доказать. Приведу отрывок из его послания математику Эратосфену Киренскому (ок. 276–194 гг. до н. э.) во введении к трактату (Dijksterhuis 1957).
В этой книге я шлю тебе доказательства этих теорем. Поскольку, как я уже упоминал, я знаю, что ты человек усердный, прекрасный учитель философии и очень интересуешься любыми математическими исследованиями, какие только ни попадутся тебе, я решил, что будет полезно описать и передать тебе в этой же книге некий особый метод, который даст тебе возможность ставить определенные математические вопросы при помощи механики (курсив мой. – М. Л.). Я уверен, что этот же метод не менее полезен при поиске доказательств тех же теорем. В некоторых случаях мне сначала становилось понятно, что происходит, благодаря механическому методу, а затем уже это было доказано геометрически, поскольку изучение этих случаев вышеуказанным методом не позволяет вывести настоящее доказательство. Ведь гораздо проще предоставить доказательство, когда мы уже получили определенные знания посредством указанного метода, чем найти его безо всяких знаний.
Архимед затрагивает здесь один из важнейших принципов научного и математического исследования в целом: зачастую гораздо труднее формулировать вопросы и теоремы, которые стоит исследовать, чем искать ответы на известные вопросы и доказательства известных теорем. Так как же Архимед находил новые теоремы? Опираясь на тончайшее понимание механики, равновесия и принципов рычага, он мысленно взвешивал тела и фигуры, чьи площади и объемы пытался найти, и сравнивал их вес с весом уже известных тел и фигур. А когда ему удавалось таким образом найти неизвестную площадь или объем, было уже гораздо легче геометрически доказать истинность ответа. Именно поэтому «Метод» начинается с ряда утверждений относительно центров тяжести и лишь затем переходит к геометрическим предположениям и их доказательствам.
Метод Архимеда не имеет себе равных по двум причинам. Во-первых, Архимед, в сущности, ввел понятие мысленного эксперимента в строгих научных исследованиях. Название этому инструменту, воображаемому опыту, проводимому вместо реального, – Gedankenexperiment, то есть «опыт, производимый в мыслях» (нем.) – дал физик Ханс Кристиан Эрстед, живший в XIX веке. В физике, где эта идея оказалась крайне плодотворной, мысленные эксперименты применяются либо для того, чтобы обеспечить понимание процессов еще до экспериментов реальных, либо в случаях, когда реальные эксперименты невозможны. Во-вторых – и это самое главное – Архимед освободил математику от несколько искусственных ограничений, которые наложили на нее Евклид и Платон. По мнению этих ученых мужей, математикой можно заниматься одним и только одним способом. Надо начинать с аксиом, а затем выстраивать несокрушимую последовательность логических шагов при помощи строго определенных инструментов. Однако вольнолюбивый Архимед решил для постановки и решения новых задач задействовать весь мыслимый арсенал. И не остановился перед тем, чтобы ради развития математики изучать и использовать связи между абстрактными математическими объектами (платоновскими формами) и физической реальностью (реальными телами или плоскими фигурами). И последний пример, подкрепляющий статус Архимеда-волшебника, – его предсказание интегрального и дифференциального исчисления, отрасли математики, которую формально разработал Ньютон (и независимо от него немецкий математик Лейбниц) лишь к концу XVII века [30]
30
Прекрасный рассказ об истории и значении интегрального и дифференциального исчисления см. у Berlinski 1996.
Основная идея процесса интегрирования довольно проста (если ее понятно объяснить, конечно). Предположим, вам нужно найти площадь сегмента эллипса. Можете разделить эту площадь на много маленьких прямоугольничков одинаковой ширины и сложить площади этих прямоугольничков (рис. 14). Очевидно, что чем больше прямоугольничков мы сделаем, тем ближе сумма их площадей будет к истинной площади сегмента. Иначе говоря, на самом деле площадь сегмента равна пределу, к которому стремится сумма прямоугольничков, если их число увеличивается до бесконечности. Поиск этого предела и называется интегрированием. Архимед применял вариант вышеописанного метода для поиска объема и площади поверхности сферы, конуса, эллипсоидов и параболоидов (тел, которые получаются, если вращать эллипсы или параболы вокруг оси).
Среди основных задач дифференциального исчисления – поиск угла наклона касательной к данной кривой в данной точке, то есть той линии, которая касается кривой только в этой точке. Архимед решил эту задачу для частного случая спирали, тем самым предвосхитив далекое будущее – работы Ньютона и Лейбница. Сегодня области дифференциального и интегрального исчисления и их дочерние отрасли закладывают основу большинства математических моделей – будь то физика, инженерное дело, экономика или динамика популяций.
Рис. 14
Архимед изменил мир математики, перевернул представления об отношениях математики с мирозданием. Поскольку у него были как теоретические, так и практические интересы – поразительное сочетание! – он самой своей деятельностью предоставил первые не мифологические, а эмпирические доказательства того, что структура мироздания, очевидно, основана на математике. Идея, что математика – это язык Вселенной, а следовательно, Бог – математик, родилась именно в трудах Архимеда. И все же одного Архимед не сделал – он никогда не говорил об ограниченности применения своих математических моделей в реальных физических обстоятельствах. Например, теоретические рассуждения о рычагах в его трактатах предполагают, что опоры бесконечно твердые, а сами рычаги ничего не весят. Тем самым Архимед в некотором смысле открыл дорогу толкованию математических моделей «с соблюдением внешних приличий». То есть получалось, что математические модели отражают лишь то, что наблюдают люди, а не описывают подлинную физическую реальность. Разницу между математическим моделированием и физическим объяснением применительно к движению небесных тел первым подробно описал греческий математик Гемин (ок. 10 г. до н. э. – 60 г. н. э.) [Heath 1921]. Он провел грань между астрономами (или математиками), которые, по его мнению, лишь предлагали модели, которые повторяли бы наблюдаемое в небесах движение, и физиками, которые должны были искать объяснения реальному движению. Именно этому разграничению предстояло достигнуть пика во времена Галилея, о чем мы еще поговорим в этой главе.