(x)=

b

– b

2ih

m

– 1/2

exp

im(x-y)^2

2h

2ihT

m

– 1/2

x

x

exp

im(x0+y)^2

2hT

dy.

(3.20)

Этот интеграл можно выразить через интегралы Френеля. В таком представлении уже содержатся физические результаты (которые мы обсудим ниже), но они не наглядны из-за математической сложности интегралов Френеля. Чтобы не затемнять математикой физический смысл результатов, мы получим другую, но аналогичную формулу, которая приведёт нас к более простым математическим выражениям.

Гауссова щель. Введём в подынтегральное выражение в качестве вспомогательного множителя функцию G(y). Если положить эту функцию равной единице в интервале -b<=y<=+b и равной нулю всюду вне его, то пределы интегрирования можно раздвинуть до бесконечности без изменения результата. Тогда

(x)=

–

mG(y)

2ihT

exp

im

2h

(x-y)^2

+

(x0– y)^2

T

dy,

(3.21)

где

G(y)=

1 для -b<=y<=b,

0 для |y|>b.

Допустим теперь, что в качестве G(y) взята функция Гаусса

G(y)=e

– y^2/2b^2

.

(3.22)

Эта функция имеет вид, указанный на фиг. 3.4; эффективная ширина кривой связана с параметром b. Для такой функции приблизительно две трети всей площади под ней лежат между точками -b и +b.

Фиг.3.4. Вид гауссовой функции G(y)=e– y^2/2b^2.

Форма кривой та же самая, что и у нормального распределения со стандартным отклонением, равным b.

Мы не знаем, каким образом можно было бы технически осуществить такую гауссову щель для реализации нашего мысленного эксперимента. Однако здесь нет принципиальной трудности: просто налицо ситуация, когда в момент времени T частицы распределены вдоль оси x с относительной амплитудой вероятности, пропорциональной функции G(y) (относительная вероятность пропорциональна [G(y)]^2). Если бы частицы двигались классическим образом, то мы ожидали бы, что по истечении времени T они будут распределены вдоль оси x так же, как и раньше, но с новым центром распределения на расстоянии x1 от точки x0 и с большей шириной b1 определяемыми равенствами

x

1

=

x0

T

, b

1

=b

1+

T

,

(3.23)

как показано на фиг. 3.5.

Фиг. 3.5. Траектории частиц, движущихся сквозь гауссову щель.

Если частицы подчиняются классическим законам движения, то их распределение в момент времени T+ будет иметь тот же самый вид, что и в момент времени T. Различие состояло бы только в величине уширения, пропорционального времени пролёта частиц. Характеристическая ширина распределения (т.е. ширина на половине высоты пика. — Ред.) будет возрастать от значения 2b до 2b1, где b1=b(T+)/T. В действительности ширина в случае квантовомеханического движения будет больше указанной.

В случае такой гауссовой щели выражением для амплитуды будет

(x)=

–

m

2ihT

exp

im

2h

x^2

+

x^20

T

+

+

im

h

–

x

+

x0

T

y+

im

2h

+

im

2hT

–

1

2b^2

y^2

dy.

(3.24)

Этот интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид exp(x^2+x), можно вычислить, дополняя показатель экспоненты до полного квадрата:

–

[exp(x^2+x)]dx=

–

1/2

exp

–

^2

4

для Re<=0.

(3.25)

Таким образом, амплитуда становится равной

(x)=

m

2ih

1/2

T

1

T

+

1

+

hi

b^2m

– 1/2

x

xexp

im

2h

x^2

+

x^20

T

–