2ih·2

m

– 1/2

exp

m

2ih·2

(x

2

– x

0

)^2

.

(3.4)

Умножим это выражение на функцию

2ih

m

– 1/2

exp

m

2ih

(x

3

– x

2

)^2

(3.5)

и снова проинтегрируем, на этот раз по переменной x2; получим результат, совпадающий с правой частью равенства (3.4), если не считать того, что бином (x2– x0)^2 заменяется на (x3– x0)^2, а величина 2 в двух местах заменяется на 3:

2ih·3

m

– 1/2

exp

m

2ih·3

(x

3

– x

0

)^2

.

Таким образом мы можем построить рекуррентный процесс, который после (n-1)-го шага даёт функцию

2ihn

m

– 1/2

exp

m

2ih·n

(x

n

– x

0

)^2

.

Поскольку n=tn– t0, то легко видеть, что результат (N-1)-го шага совпадает с выражением (3.3).

Существует и другой метод вычисления. Можно воспользоваться соотношением (3.4), чтобы выполнить интегрирование по всем переменным xi с нечётным значением i (в предположении, что N чётное). Получим выражение, формально совпадающее с формулой (3.2), но содержащее вдвое меньше переменных интегрирования. Оставшиеся переменные определены в моменты времени, отделённые друг от друга интервалом 2. Следовательно, по крайней мере в случае, когда N можно представить как 2k, выражение (3.3) получается после k таких шагов.

Задача 3.1. Вероятность того, что частица попадёт в точку b, по определению пропорциональна квадрату модуля ядра K(b,a). В случае движения свободной частицы, для которого ядро определяется выражением (3.3), эта вероятность

P(b)dx=

m

2h(tb– ta)

dx.

(3.6)

Ясно, что это относительная вероятность, так как интеграл по всем значениям x расходится. Что означает этот способ нормировки? Покажите, что он соответствует некоторому классическому движению, когда частица выходит из точки a с импульсом, все значения которого равновероятны. Покажите, что соответствующая относительная вероятность того, что импульс частицы лежит в интервале dp, равна dp/2h.

Импульс и энергия. Выясним теперь смысл ядра, описывающего свободное движение частицы. Для удобства выберем в качестве начала отсчёта пространственных координат и времени точку a. Тогда амплитуда перехода в некоторую другую точку b(x,t) будет иметь вид

K(x,t,0,0)=

2iht

m

e

imx^2/2ht

– 1/2

.

Если момент фиксирован, то эта амплитуда изменяется с расстоянием так, как это показано на фиг. 3.1, где представлена действительная часть выражения (3.7).

Фиг. 3.1. Действительная часть амплитуды перехода в различные точки на расстоянии x от начала координат спустя время t.

Мнимая часть (не показана) представляет собой аналогичную волну, смещённую по фазе на 90°, так что модуль квадрата амплитуды — постоянная величина. Длина волны мала при больших x т.е. при таких значениях, которые классическая частица может достичь, лишь если она движется с большой скоростью. В общем случае длина волны и классический импульс обратно пропорциональны друг другу (см. формулу (3.10)].

Мы видим, что по мере удаления от начала координат осцилляции становятся все более и более частыми. Если x настолько велико, что произошло уже много таких осцилляций, то расстояние между соседними узлами почти постоянно, по крайней мере для нескольких ближайших осцилляций. Другими словами, амплитуда ведёт себя как синусоида с медленно меняющейся длиной волны . Представляет интерес вычислить эту длину волны. При изменении x на длину волны фаза амплитуды должна увеличиться на 2. Отсюда следует, что

2=

m(x+)^2

2ht

–

mx^2

2ht

=

mx

ht

+

m^2

2ht

.

(3.8)

Пренебрегая величиной ^2 по сравнению с x (т.е. предположив, что x>>, получаем

=

2h

m(x/t)

.

(3.9)

С точки зрения классической физики частица, переместившаяся из начала координат в точку x за время t, имеет скорость x/t и импульс mx/t. Когда в квантовой механике движение частицы можно адекватно описать классическим импульсом p=mx/t, соответствующая амплитуда вероятности изменяется в пространстве синусоидально и длина волны её колебаний равна