Шрифт:
K(b,a)=
xc
b
c
e
(i/h)S[b,c]
K(c,a)
Dx(t)
dx
c
.
(2.30)
Выполнив интегрирование по всем траекториям от c до b, а затем по всем возможным значениям xc, получим окончательно
K(b,a)=
K(b,c)
K(c,a)
dx
c
.
x
c
(2.31)
Быть может, рассуждения будут более понятыми, если исходить из выражения (2.22). Выделим один из дискретных моментов времени tk. Пусть tc=tk и xc=xk. Сначала интегрируем по всем xi для которых i<k. Это приведёт к появлению под знаком интеграла множителя K(c,a). Далее интегрируем по всем xi, для которых i>k; так получается множитель K(b,c). После этого остаётся проинтегрировать по xc, и результат запишется в виде (2.31).
Окончательный итог можно кратко сформулировать следующим образом. Любая из возможных траекторий между точками a и b однозначно определяется выбором точки xc, которая отвечает моменту времени tc. В случае частицы, движущейся из точки a в точку b, ядро можно вычислить, руководствуясь такими правилами:
1) ядро, соответствующее переходу из точки a в точку b, равняется сумме амплитуд перехода частицы из точки a в точку c и далее в точку b по всем возможным значениям величины xc;
2) амплитуда перехода из точки a в точку c и далее в точку b равна произведению ядер, соответствующих переходам из точки a в точку c и из точки c в точку b.
Таким образом, имеет место правило: амплитуды последовательных во времени событий перемножаются.
Обобщение правила на случай нескольких событий. Существует много приложений этого важного правила; некоторые из них будут изложены в последующих главах. Здесь же мы покажем, как оно применяется для того, чтобы получить выражение (2.22) другим способом.
Каждую траекторию можно делить на части двумя моментами времени: tc и td. Тогда ядро, соответствующее частице, движущейся из точки a в точку b, можно записать в виде
K(b,a)=
K(b,c)
K(c,d)
K(d,a)
dx
c
dx
d
.
x
c
x
d
(2.32)
Это означает, что частица, которая движется из точки a в точку b, рассматривается так, как если бы она двигалась сначала из точки a в точку d, потом из точки d в точку c и, наконец, из точки c в точку b. Амплитуда, соответствующая такой траектории, есть произведение ядер, отвечающих каждой части траектории. Ядро, взятое по всем таким траекториям, проходящим из точки a в точку b, получается интегрированием этого произведения по всем возможным значениям переменных xc и xd.
Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока весь интервал времени не разделится на N участков. В результате получим
K(b,a)=
x1
x2
…
xN-1
K(b,N-1)
K(N-1,N-2)
…
K(i+1,i)
…
K(1,a)
dx
1
dx
2
…
dx
N-1
.
(2.33)
Это означает, что мы можем определить ядро способом, отличным от приведённого в соотношении (2.22). В этом новом определении ядро, соответствующее переходу частицы между двумя точками, разделёнными бесконечно малым интервалом времени , имеет вид
K(i+1,i)=
1
A
exp
i
h
L
xi+1– xi
,
xi+1+xi
2
,
ti+1+ti
2
.
(2.34)
Последнее выражение является точным в первом приближении по . Тогда в соответствии с правилами перемножения амплитуд для событий, которые происходят последовательно во времени, мы получим выражение амплитуды, отвечающей всей траектории:
[x(t)]=
lim
– >0
N-1
i=0
K(i+1,i).
(2.35)
Используя затем правило сложения амплитуд, соответствующих альтернативным траекториям, приходим к определению ядра K(b,a). Окончательное выражение, как можно видеть, совпадает с формулой (2.22).