Р. Фейнман

А. Хибс

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ИДЕИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

§ 1. Вероятность в квантовой механике 2)

2) Большая часть материала этой главы первоначально представляла собой лекцию д-ра Фейнмана и была опубликована под названием «Концепция вероятности в квантовой механике» в [26].

В первые десятилетия нашего века экспериментальная физика накопила внушительное количество странных результатов, не укладывавшихся в прежние (классические) представления. Попытки теоретически объяснить новые явления привели сначала к замешательству, поскольку оказалось, что свет и электроны иногда ведут себя как волны, а иногда — как частицы. Кажущаяся несовместимость этих свойств была полностью устранена в 1926—1927 гг. в теории, названной квантовой механикой. Новая теория утверждала, что существуют эксперименты, точный результат которых в принципе не может быть предсказан, и что в этих случаях следует удовлетвориться вычислением вероятностей различных возможных исходов. Но гораздо более важным оказалось открытие того, что сложение вероятностей в природе происходит не по законам классической теории Лапласа. Квантовомеханические законы физического мира становятся очень близкими к законам Лапласа лишь по мере того, как увеличивается размер объектов, участвующих в эксперименте. Поэтому обычная теория вероятности вполне подходит для анализа поведения колеса рулетки, но не для рассмотрения отдельного электрона или фотона.

Мысленный эксперимент. Само понятие вероятности в квантовой механике не изменяется. Когда мы говорим, что вероятность определённого исхода опыта есть p, то вкладываем в это обычный смысл: при многократном повторении эксперимента ожидается, что относительное число опытов с интересующим нас исходом составит приблизительно p. Мы не будем вникать в подробности этого определения; никаких изменений понятия вероятности, принятого в классической статистике, нам не потребуется.

Зато придётся радикально изменить способ вычисления вероятностей. Последствия этого изменения оказываются наиболее значительными, когда мы имеем дело с объектами атомных размеров; поэтому будем иллюстрировать законы квантовой механики описанием результатов мысленных экспериментов с отдельным электроном.

Фиг. 1.1 поясняет наш воображаемый опыт. В точке A расположен источник электронов S. Все электроны вылетают из этого источника с одной и той же энергией в направлении экрана B. Этот экран имеет отверстия 1 и 2, через которые могут проходить электроны. Наконец, за экраном B в плоскости C расположен детектор электронов, который можно помещать на различных расстояниях x от центра экрана.

Фиг. 1.1. Схема эксперимента.

Испускаемые в точке A электроны летят в детектор, расположенный на экране C. Между A и C помещён экран B с двумя отверстиями 1 и 2. Детектор регистрирует каждый попадающий в него электрон; измеряется относительное число электронов, которые попадают в детектор, когда тот расположен на расстоянии x от экрана C, и строится кривая зависимости числа отсчётов от x, представленная на фиг. 1.2.

Если детектор очень чувствителен (например, счётчик Гейгера), то мы обнаружим, что достигающий точки x ток не непрерывен, а является как бы дождём из отдельных частиц. При малой интенсивности источника S детектор зарегистрирует импульсы, свидетельствующие о попадании отдельных частиц, причём эти импульсы будут разделены промежутками времени, в течение которых в детектор ничего не попадает. Именно поэтому мы и считаем электроны частицами. Если бы мы расположили детекторы сразу по всему экрану, то в случае очень слабого источника S сначала сработал бы только один детектор, потом через небольшой промежуток времени появление электрона зарегистрировал бы другой детектор и т.д. При этом ни один детектор не может сработать «наполовину»: либо электрон попадает в него целиком, либо вообще ничего не происходит. Никогда не срабатывали бы и два детектора одновременно (за исключением случаев совпадения, когда за время, меньшее разрешающей способности детекторов, источник испускает два электрона — событие, вероятность которого можно уменьшить дальнейшим ослаблением интенсивности источника). Другими словами, детектор на фиг. 1.1 регистрирует некоторый одиночный корпускулярный объект, пролетающий от источника S до точки x через отверстие в экране B.

Этот опыт никогда не был поставлен именно таким образом. Некоторые эксперименты, непосредственно иллюстрирующие наши дальнейшие выводы, действительно производились, но они, как правило, оказываются значительно более сложными. Из соображений наглядности мы предпочитаем отбирать эксперименты, наиболее простые в принципиальном отношении, и не обращаем внимания на реальные трудности их выполнения.

Между прочим, в подобном опыте вместо электронов можно использовать свет; это ничего бы не изменило. Источником S мог быть источник монохроматического света, а чувствительным детектором — фотоэлемент (или, ещё лучше, фотоумножитель), который регистрировал бы импульсы, возникающие в нем при попадании одного фотона.

Величина, измеряемая нами при различных положениях детектора x,— это число импульсов за 1 сек. Другими словами, мы будем экспериментально определять (как функцию x) вероятность P того, что вылетевший из источника S электрон попадёт в точку x.

Фиг. 1.2. Результаты эксперимента.

Вероятность попадания электронов в точку я представлена как функция положения детектора x. Кривая a — результат эксперимента, изображённого на фиг. 1.1. Случаю, когда открыто только отверстие 1 и электроны могут пролетать только через это отверстие, соответствует кривая b; открытому отверстию 2 соответствует кривая c. Если предполагать, что каждый электрон проходит только сквозь одно отверстие из двух, то в случае, когда открыты оба отверстия, мы должны были бы получить кривую d=b+с. Это существенно отличается от кривой a, которую мы получаем в действительности.

График этой вероятности (как функции от x) представляет собой сложную кривую, которую в общих чертах передаёт фиг. 1.2, а. Эта кривая имеет несколько максимумов и минимумов, причём вблизи центра экрана существуют участки, куда электроны почти никогда не попадают. Объяснить, почему эта кривая имеет такой вид, и является задачей физики.

Мы могли бы сначала предположить (поскольку электроны ведут себя как частицы), что:

а) каждый электрон, летящий из источника S в точку x, должен проходить либо через отверстие 1, либо через отверстие 2; исходя из этого предположения, мы ожидали бы, что

б) вероятность P попадания в точку x является суммой двух слагаемых: вероятности P1 попасть в эту точку через отверстие 1 и вероятности P2 попасть в эту же точку через отверстие 2.

Так ли это, можно выяснить непосредственно на опыте. Каждая из слагаемых вероятностей легко определяется: просто закроем отверстие 2 и подсчитаем число попаданий в точку x, когда открыто только лишь отверстие 1. Это даст нам вероятность P1 попадания в точку x электронов, пролетевших через отверстие 1. Результат изображается кривой b на фиг. 1.2. Аналогично, закрывая отверстие 1, найдём вероятность P2 попадания в точку x через отверстие 2 (кривая с на фиг. 1.2).