В классической физике частицу можно считать движущейся по определённой траектории и приписывать ей в каждый момент времени определённые положение и скорость. Такое описание не привело бы к тем необычайным результатам, которые, как мы видели, характерны для квантовой механики. Принцип Гейзенберга ограничивает применимость подобного классического описания. Например, имеет свои пределы представление о том, что частица 'занимает определённое положение и обладает определённым импульсом. Реальная система (т.е. система, подчиняющаяся квантовой механике) представляет собой, если смотреть на неё с классической точки зрения, систему, в которой положение и импульс не определены. Тщательным измерением можно уменьшить неопределённость положения, а в других опытах можно было бы точнее определить импульс. Однако, как утверждает принцип Гейзенберга, нельзя точно измерить обе эти величины одновременно; в любом эксперименте произведение неопределённостей импульса и координаты не может быть меньше некоторой величины порядка h*). Аналогичное условие требуется и для физической согласованности ситуации, которую мы обсуждали выше. Это можно показать, рассмотрев ещё одну попытку определения, через какое именно отверстие проходит электрон.

* h=h/2=1,054•10– 27 эрг/см, где h — постоянная Планка.

Пример. Если электрон, проходя через одно из отверстий, отклоняется, то вертикальная составляющая его импульса изменяется. Кроме того, электрон, попадающий в детектор x после прохождения отверстия 1, отклоняется на иной угол (а потому и импульс его претерпевает иное изменение), нежели электрон, попадающий в точку x через отверстие 2. Предположим, что экран B не закреплён жёстко, а может свободно передвигаться вверх и вниз (фиг. 1.5). Любое изменение вертикальной составляющей импульса электрона в момент его прохождения через отверстие будет сопровождаться равным и противоположным по знаку изменением импульса экрана, которое можно найти, измеряя скорость экрана до и после прохождения электрона. Обозначим через p разность между изменениями импульсов электронов, проходящих через отверстия 1 и 2. Тогда для однозначного выяснения того, через какое отверстие прошёл электрон, требуется определить импульс экрана с точностью, превышающей p.

Фиг. 1.5. Ещё одна модификация эксперимента, изображённого на фиг. 1.1.

Экран B может свободно передвигаться в вертикальном направлении. Если электрон проходит отверстие 2 и попадает в детектор (например, в точке x = 0), то он отклонится вверх, а экран x получит отдачу вниз. Определяя, куда откатывается покоившийся вначале экран, можно установить отверстие, через которое проходит электрон. Однако, согласно принципу неопределённости Гейзенберга, такие прецизионные измерения импульса экрана x были бы несовместимы с точным знанием его вертикального положения, поэтому мы не могли бы быть уверены, что линия, соединяющая центры двух отверстий, установлена правильно. Вместо кривой a на фиг. 1.2 мы получим распределение, несколько размазанное в вертикальном направлении, похожее на кривую d фиг. 1.2.

Если в эксперименте импульс экрана B можно измерить с требуемой точностью, то мы тем самым определяем, через какое отверстие прошёл электрон, и распределение вероятностей приобретает вид кривой d на фиг. 1.2. Интерференционная картина (а), очевидно, исчезает. Как это может произойти? Чтобы понять это, заметим, что при построении кривой, описывающей распределение электронов в плоскости экрана C, необходимо точно знать вертикальное положение двух отверстий на экране B. Поэтому мы должны измерить не только импульс экрана B, но и его координату. Для возникновения интерференционной картины (кривая а на фиг. 1.2) положение экрана должно быть известно с точностью, превышающей d/2, где d — расстояние между соседними максимумами кривой. Теперь предположим, что мы не знаем вертикальное положение экрана с такой точностью; тогда положение кривой а на фиг. 1.2 нельзя определить с точностью, большей чем d/2, поскольку за начало отсчёта вертикальной шкалы необходимо принять некоторую фиксированную точку на экране B. При этом значение вероятности P для любого x должно отыскиваться усреднением по всем её значениям внутри окрестности размером d/2 вокруг точки x; в процессе такого усреднения интерференционная картина, очевидно, размажется и результирующая кривая не будет отличаться от кривой d на фиг. 1.2.

Фиг. 1.6. Аналогичный эксперимент со светом.

Два луча света, находящиеся в одинаковых фазах в точках 1 и 2, будут усиливать друг друга при попадании па экран C, если они проходят расстояние между экранами B и C за одинаковое время. Это означает, что максимум в дифракционной картине, возникающий при прохождении лучей света через два отверстия, будет находиться в центре экрана. Следующий максимум будет расположен ниже центра экрана настолько, чтобы достигающий этой точки луч из отверстия 1 проходил путь точно на одну длину волны больший, чем луч из отверстия 2.

Интерференция в эксперименте — признак волнового поведения электронов. Поскольку картина та же, что и в случае любого волнового движения, мы можем воспользоваться хорошо известным в теории дифракции света соотношением, которое связывает расстояние а между отверстиями, расстояние l от экрана B до плоскости C, длину волны света и расстояние между максимумами d:

a

l

=

d

(1.4)

(фиг. 1.6). В гл. 3 мы покажем, что длина волны электрона неразрывно связана с его импульсом соотношением

p=

h

.

(1.5)

Если p — полный импульс электрона (а мы предполагаем, что все пролетающие электроны имеют одинаковый полный импульс), то из фиг. 1.7 видно, что в случае l >> a

p

p

a

l

.

(1.6)

Отсюда следует, что

d=

h

p

.

(1.7)

Поскольку из опыта мы знаем, что интерференционная картина исчезла, то неопределённость x в измерении положения экрана C должна быть больше d/2. Следовательно,

px>=

h

2

,

(1.8)

что согласуется (по порядку величины) с обычной формулировкой принципа неопределённости.

Фиг. 1.7. Отклонение электрона при прохождении через отверстие в экране B.