Шрифт:
for i in range(len(arr)): # len(arr) – функция возвращает длину массива
# Получить x координату точки
x = arr[i]
# Получить расчетную y, координату точки
y = w1 * x + w2
# Получить целевую Y, координату точки
target_Y = arr_y[i]
# Ошибка E = целевое значение – выход нейрона
E = target_Y – y
# Меняем вес при входе x
w1 += lr*(E/x)
# Меняем вес при входе x2 = 1, w2 += lr*(E/x2) = lr*E
w2 += lr*E
И забегая вперед, скажу, что тут нас постигнет разочарование – ничего не выйдет…
Дело в том, что вес (w2) (бывший параметр (b)), вносит искажение в поправку веса (w1) (бывшего коэффициента (А)) и наоборот. Они действуют независимо друг от друга, что сказывается на увеличении ошибки с каждым проходом цикла программы.
Нужен фактор, который заставит наша веса действовать согласованно, учитывать интересы друг друга, идти на компромиссы, ради нужного результата. И такой фактор у нас уже есть – ошибка.
Если мы придумаем как согласованно со всеми входами уменьшать ошибку с каждым проходом цикла в программе, подгоняя под неё весовые коэффициенты таким образом, что в конечном счете привело к самому минимальному её значению для всех входов. Такое решение, являлось бы общим для всех входов нашего нейрона. То есть, согласованно обновляя веса в сторону уменьшения их общей ошибки, мы будем приближаться к оптимальному результату на выходе.
Поэтому, при числе входов нейрона, больше одного, наши выработанные до этого правила линейной классификации, необходимо дополнить. Нужно использовать ошибку, чтобы математически связать все входы таким образом, при котором они начнут учитывать общие интересы. И как следствие, на выходе получить нужный классификатор.
Итак, мы постепенно подходим к ключевому понятию в обучении нейрона и нейронных сетей – обучение методом градиентного спуска.
Обновление весовых коэффициентов
Найдем решение, которое, даже будет не идеальным с точки зрения математики, но даст нам правильные результаты, поскольку всё же опирается на математический инструмент.
Для понимания всего процесса, давайте представим себе спуск с холма, со сложным рельефом. Вы спускаетесь по его склону, и вам нужно добраться до его подножья. Кругом кромешная тьма. У вас в руках есть фонарик, света которого едва хватает на пару метров. Все что вы сможете увидеть, в этом случае – по какому участку, в пределах видимости фонаря, проще всего начать спуск и сможете сделать только один небольшой шаг в этом направлении. Действуя подобным образом, вы будете медленно, шаг за шагом, продвигаться вниз.
У такого абстрактного подхода, есть математическая версия, которая называется – градиентным спуском. Где подножье холма – минимум ошибки, а шагами в его направлении – обновления весовых коэффициентов.
Градиентный спуск – метод нахождения локального минимума или максимума функции с помощью движения вдоль градиента – который, своим направлением указывает направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой, а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.
Метод градиентного спуска позволяет находить минимум, даже не располагая знаниями свойств этой функции, достаточными для нахождения минимума другими математическими методами. Если функция очень сложна, где нет простого способа нахождения минимума, мы в этом случае можем применить метод градиентного спуска. Этот метод может не дать нам абсолютно точного ответа. Но все же это лучше, чем вообще не иметь никакого решения. А его суть, как было описано выше – постепенно приближаться к ответу, шаг за шагом, тем самым медленно, но верно, улучшая нашу позицию.
Для наглядности, рассмотрим использование метода градиентного спуска на простейшем примере.
Возьмём график функции, которая своими значениями иллюстрирует склон. Если бы это была функция ошибки, то нам нужно найти такое значение (х), которое минимизирует эту функцию:
Значение шага (скорости обучения), как мы говорили ранее, играет тоже не малую роль, при слишком большом значении, мы быстро спускаемся, но можем переступить минимум функции – страдает точность. При очень маленьком значении величины скорости обучения, нахождение минимума потребует гораздо больше времени. Нужно подобрать величину шага такой, чтоб он удовлетворяла нас и по скорости, и по точности. При нахождении минимума, наша точка будет коррелировать, возле значения минимум, в чуть большую и меньшую сторону на величину шага. Это все равно что – когда спустившись вплотную к подножью, мы сделали шаг и оказались чуть выше подножья, повернувшись сделали такой же шаг назад, и поняв, что опять находимся чуть выше, повторяли эти действия до бесконечности. Но при этом, мы все равно находились бы очень близко к подножью, потому как величина шага, в общем объеме, ничтожна, поэтому мы можем говорить – что находимся в самом низу.
Выходной сигнал нейрона представляет собой сложную функцию со многими входными данными, и соответствующие им – весовыми коэффициентами связи. Все они коллективно влияют на выходной сигнал. Как при этом подобрать подходящие значения весов используя метод градиентного спуска? Для начала, давайте правильно выберем функцию ошибки.
Функция выходного сигнала не является функцией ошибки. Но мы знаем, что есть связь между этими функциями, поскольку ошибка – это разность между целевыми тренировочными значениями и фактическими выходными значениями (Е=Y– y).