Шрифт:
g
z
=-
1
2
[
g
,
+
g
,
–
g
,
]
z
z
=-
[,]
z
z
z
.
(6.1.8)
Нижний индекс z на скобке напоминает нам, к какой переменной относятся индексы. Теперь умножим дивергенцию, полученную в соотношении (6.1.7), на g(x) и заменим gz на -[,]zzz. Заметим, что из-за наличия -функции величина [,]z приводит к тому же эффекту, что и [,]x. Это означает, что знак скобки может быть вынесен за знак интеграла, приводя нас к выражению, в которое включена только дивергенция oT, и исходный тензор oT:
g
(x)
o
T
,
(x)
=-
[,]
o
T
(x)
.
(6.1.9)
Это точное уравнение, которому должен удовлетворять тензор oT. В настоящем время мы используем его только в первом порядке малости по h. Мы можем разделить тензор g на два слагаемых +2h и получить уравнение,1 которое говорит нам, что дивергенция oT, начинается с линейного члена по константе связи :
o
T
,
=-
[,]
o
T
–
2
h
o
T
,
,
(6.1.10)
1 При переводе мы не меняли не очень удачные обозначения Фейнмана, когда обозначает одновременно как индекс, так и множитель, т.е. две совершенно различные величины. (Прим. перев.)
так как знак ”скобка” включает в себя производные, которые делают нулевой порядок тензора g не играющим никакой роли.
Когда мы сравниваем это соотношение с требованием, что новый тензор newTnT должен иметь нулевую дивергенцию,
n
T
,
=
o
T
,
+
,
,
(6.1.11)
и если мы предполагаем, что само выражение для – билинейно по полям, мы видим, что дивергенция , должна иметь следующее выражение:
,
=
[,]
o
T
+
O(^2)
… .
(6.1.12)
Знание дивергенции не определяет для нас . У нас есть дополнительное требование, используя которое мы надеемся вывести из вариации F^3 по отношению к h, согласно соотношению (6.1.2). Если мы возьмём F^3 как сумму по всем возможным независимым произведениям, включающим в себя всевозможные трилинейные произведения полевых компонент и два независимых индекса, по которым берутся производные, то эти два требования определяют величину F^3 однозначно. Мы не будем проводить здесь определение 18 констант, но отметим, что это результат больших и трудоёмких алгебраических вычислений
F^3
=-
h
h
h
,
+
h
h
h
,
,
–
–
2h
h
h
,
+
2
h
h
,
h
,
+
+
1
2
h
h
+
1
4
h
h
h
,
.
(6.1.13)
Теперь для нас оказывается возможным, используя метод малых возмущений, вычислить все эффекты, которые рассматривались ранее. Для случая движения планет включение выражения для F^3 в интеграл от лагранжиана приводит к следующим выражениям и , которые должны быть использованы для вычислений орбит:
=
+
1
2
^2
…
=
–
3
8
^2
…
=-
2MG/r
.
(6.1.14)
Эти поправки приводят к полному согласию нашей теории с наблюдениями по прецессии перигелия Меркурия, так что последнее оставшееся расхождение между теорией и наблюдениями исчезает.
6.2. Формулировка теории, справедливой во всех порядках
Мы достаточно преуспели в нашей задаче, которую мы поставили перед собой в самом начале, построить полевую теорию гравитации по аналогии с другими хорошо известными полевыми теориями, которые бы адекватно описывали все известные характеристики феномена гравитации. Таким образом, наша воображаемая венерианская точка зрения оказалась плодотворной. Имеются некоторые слабые места в нашей теории; мы могли бы представить себе, что самые трудолюбивые венерианские теоретики могли бы не удовлетвориться теорией, в которой оставлены неопределёнными эффекты третьего порядка малости, и некоторые из них могли бы продолжить исследование функций F и F и т.д., которые должны быть добавлены к интегралу от лагранжиана для того, чтобы сделать теорию согласованной в более высоких порядках. Этот подход есть невероятно сложная процедура вычисления ненаблюдаемых поправок, и мы не будем соревноваться с нашими воображаемыми венерианами в этом отношении.