(1+)

dt

d

^2

–

dx

d

^2

–

dy

d

^2

–

dz

d

^2

.

(5.2.3)

Очевидно, что простая подстановка t'=t1+ восстанавливает выражение для интервала в его предыдущей алгебраической форме. Ясно, что влияние постоянного потенциала подобно изменению масштаба времени так, чтобы заставить физические процессы протекать более медленно в областях более низкого гравитационного потенциала.

Аргумент на языке только свободных частиц не является значимым, поскольку мы не можем утверждать, что скорость, при которой ничего не происходит, может меняться. Мы должны взглянуть на поведение взаимодействующих частиц. С этой целью мы продолжаем использование нашей теории скалярного вещества; интеграл действия равен

1

2

dx

(

,

,

–

m^2^2

)-

dx

h

T

,

(5.2.4)

где

T

=

,

L

,

–

L

.

(5.2.4')

Мы можем явно разделить пространственные производные и производные по времени в градиентах и также выделить время в элементе объёма dx. Мы предполагаем, что поправки меньше 1, так что разложение разрешено, и мы получаем следующее выражение для интеграла действия

1

2

d^3x

dt

t

^2

1-

2

–

^2

1+

2

–

m^2^2

1+

2

.

(5.2.5)

Снова оказывается, что при dt'=dt=1+/2dt(1+/2) действие возвращается к своей первоначальной алгебраической форме. Ясно, что замедление времени имеет место для наших скалярных мезонов, представляемых . Можно показать, что замедление времени должно иметь место для всех взаимодействий, безотносительно к точной природе лагранжиана. Мы можем доказать с помощью формулы Вентцеля (5.2.4') для T. Гравитационное взаимодействие может быть явно отделено от остальной части лагранжиана, какой бы он ни был

L(общ)

=

L

–

h

T

.

(5.2.6)

При использовании выражение (5.2.4') и g из (5.2.2) так, что h, полный лагранжиан равен L-(/2)T или

L(общ)

=

L(1+/2)

–

L

,t

,t

(/2)

.

(5.2.7)

Предположим поэтому, что полный лагранжиан (включающий наш постоянный гравитационный потенциал) включает в себя только поле и его градиенты. Интеграл действия, выраженный через переменную t', по крайней мере, в первом порядке по , равен

Действие

=

d^3x

dt'

L(

,t'

,,

,x

)

,

(5.2.8)

так как ,t'=(1+)– 1/2 ,t,

Действие

=

d^3x

(1+)

1/2

dt

L((1+)

– 1/2

,t

,,

,x

)

.

Результат всего этого состоит в том, что любые члены в лагранжиане, в которые включены градиенты по времени ,t имеют свои собственные множители 1+, так что подстановка t'=t1+ в точности воспроизводит влияние постоянного гравитационного поля. Следовательно, вся физика остаётся той же самой, за исключением замедления времени.

Гравитационные потенциалы отрицательны, так что часы должны были бы идти медленнее в том случае, если они приближаются ближе к массивному объекту, такому как звезда. Можно было бы задать вопрос о том, имеется ли возможность того, что величина (1+) будет отрицательной, так как =-2GM/r Практически такой вопрос никогда не возникает, поскольку величина G очень мала. Для звезды с солнечной массой мы бы имели =-1, только если эта масса была бы сосредоточена внутри сферы с радиусом порядка 1.5 километров. Тем не менее, математическая возможность <-1 имеется в нашей теории, и мы будем обсуждать ниже возможность того, как даже в улучшенной теории возникают подобные трудности.

Таким образом, мы имеем новое предсказание наших гравитационных теорий, часы должны были бы идти более медленно в областях с более низким гравитационным потенциалом. Земляне провели такой эксперимент, в котором производилось испускание фотонов вблизи поверхности Земли с высоты 24 метров. Фотоны испускались на вершине и поглощались на дне; использовались предельно узкие линии, открытые Мёссбауэром, связанные с ядерными переходами в кристаллах. Небольшое изменение в частоте, связанное с падением фотонов в гравитационном поле (1 часть из 10^1), компенсируется искусственным эффектом Допплера. Когда поглощение, как функция относительных скоростей кристаллов, используется для того, чтобы определить сдвиг частоты, то результаты согласуются с теоретическими предсказаниями в пределах экспериментальной неопределённости порядка десяти процентов. Часы, которые идут более медленно в этом случае, являются ядерным устройством, которое производит фотоны с определёнными частотами; относительная разность в частотах часов на вершине и на дне есть (/) = (/2) = разность гравитационного потенциала, делённая на c^2.