1 Обсуждение некоторых простейших свойств молекулы аммиака, основанное на квантово-механическом подходе, можно найти в ”Фейнмановских лекциях по физике” [Feyn 63а] (т. 8 русского перевода, 1966, с. 145). (Прим. перев.)

Принимая философию Маха, мы могли бы сказать, что вышесказанное есть нонсенс, что размер не есть абсолют, если нет ничего, с чем можно было бы его сравнить. Это могло бы быть влияние ”туманностей”, которое определяет масштаб времени в каждой точке пространства. Скажем, комптоновская длина волны относительно размера Вселенной зависит от того, как много ”туманностей” находится в ней. Если они частично удалены, то масштаб длины должен был бы предположительно меняться.

Мы предположим, следовательно, что естественный масштаб времени, скажем, величина h/mc^2 (или любая другая комбинация для других фундаментальных частиц, а мы предполагаем, что все они пропорциональны некоторой единице длины) определяется некоторой удалённой ”туманностью”. Теперь мы покажем, что инерциальная система отсчёта также автоматически определяется этой ”туманностью” , и феномен инерции для ускорений относительно этой ” туманности” может быть понят, если принимается ”определяющий длину принцип”. Следовательно, принцип Маха эквивалентен утверждению, что фундаментальные единицы длины и времени в точке есть результат влияния удалённой ”туманности”.

Рис. 5.1.

Предположим, что частица находится в покое, тогда в квантовой механике она характеризуется следующей зависимостью от времени exp(-imc^2t/h). Принцип инерции есть утверждение о том, что временной масштаб не зависит от координаты x; классические траектории интерпретируются так, чтобы следовать нормальным линиям постоянной фазы. В пространстве двух измерений мы рисуем линии постоянной фазы перпендикулярно оси времени, как на рис. 5.1.

Рис. 5.2.

Если временные масштабы в различных частях пространства не являются теми же самыми, то линии постоянной фазы в таких диаграммах являются кривыми и соответствующие классические траектории - кривые, соответствующие ускоренному движению по направлению к области с меньшим масштабом, как показано на рис. 5.2. Так как звёзды производят такое уменьшение характерного времени для фазы, они должны вызывать ускорения. В квантовой механике плоско-параллельные решения существуют, когда поверхности постоянной фазы параллельны; если этого нет, то волновые пакеты будут стремиться следовать градиенту фазы. Теперь, если удалённая ”туманность” определяет в основном этот масштаб и если нет ближайших звёзд, масштаб h/mc^2 будет почти равным в двух ближайших точках 1 и 2, потому что 1 и 2 находятся практически на одинаковом расстоянии от всех ”туманностей”. Следовательно, естественная частота (разделение линий постоянной фазы) в точках 1 и 2 была бы практически равной. Таким образом, если частица первоначально имела бы равную фазу в точках 1 и 2, это всегда было бы так, и это состояние оставалось бы в покое, не ускорялось бы (более точно, длинный волновой пакет оставался бы в покое). Неравные начальные фазы дают наклонные линии, постоянная наклона по времени связана с постоянной скоростью. Отсутствие ускорения есть следствие наличия естественной временной шкалы, которая одинакова во всех точках в области пространства. Это постоянство понятно, если ”туманности” определяют естественную шкалу для области пространства очень малой по сравнению с размерами распределения влияющих ”галактик” (размерами вселенной), никаких вариаций в масштабе не могло бы ожидаться.

Имеются некоторые числовые совпадения, которые мы можем упомянуть здесь для того, чтобы навести на мысль о том, как ”естественные” масштабы длины могут быть в некотором смысле извлечены из космологии. Такое совпадение не содержит в себе ”теорию”, как таковую, оно просто используется для того, чтобы проиллюстрировать связь, которая могла бы быть в конце концов предсказана подробной теорией. Мы предполагаем, что в некоторой системе временных единиц, которые ”естественны” для вселенной, соответствующий инвариант (элемент длины) для частицы, находящейся в покое, есть

(ds)^2

=

g

(dt)^2

.

(5.4.1)

Координатная временная единица t должна быть (R/c), где R - радиус вселенной. Мы предполагаем, что атомные единицы определяются ds, мы серьёзно берём в качестве абсолютного размера g, тогда одна единица ds является фундаментальной длиной. Какова фундаментальная длина? Все масштабы длины пропорциональны, но мы попробуем использовать комптоновскую длину волны h/Mc. Тогда s от 1 означает одну осцилляцию волновой функции протона, a t от 1 - масштаб, равный размеру Вселенной.

Предположим затем, что вклад в величину g, обусловленный каждым протоном, есть просто 1/r (r есть в координатных единицах радиус вселенной). Тогда удалённые ”туманности”, которые имеют N протонов и которые удалены на характерное расстояние R=1, дают вклад в величину g порядка N. В окрестности звезды на расстоянии r, содержащей n протонов, элемент дуги имеет следующий квадрат:

(ds)^2

=

N

+

n

r

(dt)^2

.

(5.4.2)

Совпадение состоит в том, что если T - возраст вселенной, то он численно связан со временем протона (h/Mpc^2)TN. Вместе с другим совпадением, о котором уже было упомянуто, что 2MвселG/R1, когда мы вновь переходим к произвольной системе единиц, такой как сантиметры и секунды, получаем

(ds)^2

=

N

+

2mG

r

(cdt)^2

,

(5.4.3)

где m - масса звезды, грубо говоря m=nMp. За исключением катастрофического появления знака (+) вместо знака (-), этот результат идентичен ”правильному” выражению для длины дуги. Мы преуспели в получении правильных размеров путём жонглирования космологическими числами.