В данной книге приводятся четыре алгоритма нахождения наибольшего общего делителя, необходимая теория, формулы, 29 примеров с решениями, 140 упражнений с ответами.
Предисловие
В данной книге приводятся четыре алгоритма нахождения наибольшего общего делителя, необходимая теория, формулы, 29 примеров с решениями, 140 упражнений с ответами.
Наибольший общий делитель (НОД) [двух чисел]
Теоретический материал
В таблице приведем два способа определения НОД.
Алгоритм №0.
Не является рациональным способом нахождения наибольшего общего делителя двух чисел
Выпишем все делители чисел 32 и 24.
Делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Общими делителями 24 и 32 являются: 1, 2, 4, 8.
Наибольший из них – 8. Обозначается НОД(24;32)=8.
Замечание. Вышеизложенный алгоритм №0 не является рациональным способом нахождения НОД (им можно воспользоваться в том случае если вы забыли способы нахождения НОД).
Определение 3. Натуральные числа a и b называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1, то есть НОД(a; b) = 1.
Иначе выражаясь, если числа a и b не имеют никаких общих делителей, кроме 1, то они взаимно просты.
Пример 3.
1) Числа 2 и 5 взаимно простые (и сами они простые);
2) 2 и 9 взаимно простые (2 – простое, 9 – составное);
3) 8 и 9 взаимно простые (и оба они составные);
Замечание. Как видно из случаев, приведенных в примере 2, понятия «простые числа» и «взаимно простые числа» не имеют особой связи между собой.
Правило. Если одно из данных чисел [36] является делителем другого числа [72], то оно [36] будет являться наибольшим общим делителем данных чисел [72 и 36].
Формулы, необходимые для алгоритма №1
Для вычисления по алгоритму №1 необходимо знать формулы
Замечание. Формулу a0=1 мы будем использовать «справа налево», то есть 1=a0.
Единицу мы будем представлять как 20, как 30, как 50, как 70, как 110, …
1=20, 1=30, 1=50, 1=70, 1=110, …
Алгоритм №1
Рекомендуемый способ нахождения
наибольшего общего делителя двух чисел
Алгоритм №1.
1) Разложить данные числа на простые множители;
2) выбрать наименьшие степени множителей из разложений данных чисел;
3) перемножить выбранные множители в наименьших степенях.
Кратко (для заучивания, нестрогое правило): разложить на множители, выбрать наименьшие степени, перемножить.
Пример 1. Найти НОД (18; 14).
1) Разложим на простые множители числа 18 и 14:
18=2x32=2x32x1= 21x32x70,
14=2x7=21x1x71=21x30x71.
2) В обоих разложениях множитель 2 встречается в первой степени. Значит, выписываем множитель 21 (НАИМЕНЬШИЙ!!!).
Множитель 3 встречается во второй и нулевой степени, значит, выписываем 30 (наименьший).
Множитель 7 встречается в первой и нулевой степени, значит, выписываем 70 (наименьший).
3) 21x30x70=2x1x1=2.
Ответ: НОД(18; 14)=2.
Замечание. Нулевая степень в разложении числа обозначает, что данный множитель входит в разложение числа ноль раз. Запись 18=21x32x70 означает, что множитель 7 входит ноль раз в разложение числа 18.