Шрифт:
1.2. Распределение температурных полей в кремниевой подложке при сканировании лазерным лучом
Рассмотрим полубесконечную подложку, по которой непрерывно со скоростью вдоль оси Х сканирует лазерный луч с эллиптической формой пятна площадью А и мощностью Р. Профиль распределения плотности потока мощности по пятну описывается кривой Гаусса (рис. 3)
где rx ,ry – полуоси эллипса вдоль соответствующих направлений.
Рис. 3. Распределение интенсивности лазерного излучения по пятну эллиптической формы
Введём характеристический радиус r0 и параметр эксцентриситета
Уравнение теплопроводности может быть записано как
где первый член описывает изменение температуры Т во времени t, второй член описывает пространственное распределение Т, а третий является функцией теплового источника. Параметр К(Т) представляет собой коэффициент теплопроводности, зависящий от температуры, его размерность Вт/см·К.
Используя преобразование Кирхгофа
можно записать уравнение теплопроводности:
Для расчёта температуры в подложке при сканировании лазерного луча удобно использовать подвижные координаты: x’=x+t. Однако далее будем использовать для удобства переменную х вместо х’, подразумевая её подвижной. В этом случае уравнение теплопроводности преобразуется к виду
Считая, что лазерное излучение полностью поглощается в тонком приповерхностном слое, функция источника имеет вид
Множитель 2 показывает, что рассматривается полубесконечное пространство. Общее решение уравнения (23), полученное методом функции Грина, имеет вид где
Координаты в этом выражении нормируются на характеристический радиус:
< image l:href="#" alt="screen_image_18_191_125"/>Зависимость T находится из преобразования Кирхгофа. Полученное соотношение является нелинейным, поэтому расчёт должен быть проведён итерационным методом. Однако при = 0 нелинейность исчезает, и температуру можно найти непосредственно прямым методом. При = 0 выражение (25) можно представить как произведение максимальной температуры в центре лазерного пятна на нормализованную функцию, определяющую вид температурного профиля по трём направлениям
где
Профили вдоль осей X, Y и Z, полученные по выражению (31) для подвижного луча, показаны на рис. 4 для = 1. Расчёты показывают, что для луча диаметром 40 мкм распределение температуры до глубины 1 мкм, внутри которой формируются элементы ИС, практически однородно. Зависимости K(T) и (T) для кремния хорошо аппроксимируются выражениями [19]
Рис. 4. Распределение относительной температуры вдоль нормированных координат при лазерном нагреве: 1 – Х, Y; 2 – Z
Это позволяет получить аналитическую зависимость
<