Шрифт:
В n-м приближении уравнение (2.34) заменяется системой линейных дифференциальных уравнений порядка 2n:
i
dIi
d
=
I
i
–
1
2
j
a
j
I
j
(i
=
±1,
±2,
…,
±n
),
(2.36)
где для краткости I(,) обозначено через Ii.
Произвольные постоянные, входящие в общее решение этой системы, определяются из следующих условий: 1) отсутствует излучение, падающее на фотосферу извне, т.е. I– i=0 при =0 (i=1,2, ,n); 2) не может быть членов, экспоненциально возрастающих с , 3) задан поток излучения H=F.
После нахождения величин Ii из уравнений (2.36) основная искомая функция S определяется по формуле
S
=
1
2
a
j
I
j
.
(2.37)
Найдём в виде примера функцию S в первом приближении. В данном случае 1=-– 1=1/3, a1=a– 1=1. Поэтому вместо (2.36) получаем
1
3
dI1
d
=
I
1
–
1
2
(
I
1
+
I
– 1
),
–
1
3
dI– 1
d
=
I
– 1
–
1
2
(
I
1
+
I
– 1
).
(2.38)
Система уравнений (2.38) должна быть решена при условиях, что I– 1=0 при =0 и
2
3
(
I
1
+
I
– 1
)=
F
.
(2.39)
Находя I1 и I– 1 из (2.38) при указанных условиях, для искомой функции S получаем
S
=
3
4
F
+
1
3
.
(2.40)
Как мы увидим дальше, выражение (2.40) для функции S оказывается более точным, чем полученные ранее выражения (2.24) и (2.33). Увеличив число членов в квадратурной формуле (2.35), можно получить ещё более точные выражения для S.
4. Интегральное уравнение Милна.
Из системы уравнений (2.9) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции S. Для этого надо решить первое из уравнений (2.9) относительно I(,) и подставить найденное выражение I(,) через S во второе из этих уравнений. Такой путь решения задачи представляется наиболее естественным, так как мы получаем одно уравнение для определения функции, зависящей только от одного аргумента.
Общее решение первого из уравнений (2.9) имеет вид
I(,)
=
I(
*
,)
e
– (*– )sec
+
+
*
e
– ('-)sec
S(')
sec
d'
.
(2.41)
Оно представляет собой уравнение переноса излучения в интегральной форме [сравните с уравнением (1.14)].
Уравнение (2.41) следует рассматривать отдельно для двух случаев: для излучения, идущего снизу вверх, и для излучения, идущего сверху вниз.
В первом случае, полагая *= и считая, что интенсивность излучения не возрастает экспоненциально с ростом , получаем
I(,)
=
e
– ('-)sec
S(')
sec
d'
<
2
.
(2.42)
Во втором случае, полагая *=0 и принимая во внимание граничное условие (2.10), находим
I(,)
=-
0
e
– ('-)sec