Из уравнения (3.20) можно также получить линейное интегральное уравнение для определения S(0,x). Умножая (3.20) на A(x)/(x-z) и интегрируя по x в пределах от a до b после небольших преобразований находим

S(0,z)

1

–

2

b

a

A(x)

xdx

x^2-z^2

=

1

–

b

a

A(x)

S(0,x)

x-z

dx

.

(3.21)

Решение этого уравнения может быть получено в явном виде.

3. Определение функции .

Сравнивая между собой уравнения (3.10) и (3.11), мы видим, что свободный член уравнения (3.10) является суперпозицией свободных членов уравнения (3.11). Поэтому имеем

=

b

a

A(x)

S(,x)

dx

.

(3.22)

Умножая (3.16) на A(x) и интегрируя по x в пределах от a до b, находим

=

L

+

0

L(-')

(')

d'

,

(3.23)

где

L

=

b

a

A(x)

S(0,x)

e

– x

dx

.

(3.24)

Уравнение (3.23) является искомым уравнением для определения функции . Применяя к нему преобразование Лапласа, получаем

0

e

– s

d

=

1

–

b

a

A(x)

S(0,x)

dx

x+s

^1

–

1.

(3.25)

Таким образом, определение резольвенты уравнения (3.1) сводится к нахождению функции S(0,x) из уравнения (3.20) [или (3.21)] и последующему определению функции из (3.25) путём обращения преобразования Лапласа. Последняя операция легко выполняется методом контурного интегрирования при использовании соотношения (3.21).

Если функция известна, то при помощи формул (3.2) и (3.9) может быть найдена и функция S при любых источниках излучения. В некоторых случаях функция S выражается через весьма просто. Примером может служить случай, когда источники излучения распределены в среде экспоненциально. Как уже было показано выше, при g=e– x функция S, обозначенная, нами через S(,x), даётся формулой (3.16).

Особенно простое выражение для функции S получается при равномерном распределении источников излучения в среде, т.е. при g=1. Полагая в формуле (3.16) x=0, находим

S(,0)

=

S(0,0)

1

+

0

(')

d'

.

(3.26)

Входящая в формулу (3.26) величина S(0,0) непосредственно выражается через функцию A(x). Положим в (3.20) x=0 и в (3.21) z=0. Тогда из полученных уравнений следует

S^2(0,0)

1

–

2

b

a

A(x)

dx

x

=

1.

(3.27)

Простые формулы для функции S можно также получить при: g=n, где n — целое число.

4. Решение однородного уравнения.

Выше было показано, что решение неоднородного уравнения (3.1) при любой функции g выражается через функцию . Теперь мы покажем, что через ту же функцию выражается решение однородного уравнения

S

=

0

K(|-'|)

S(')

d'

.

(3.28)

С физической точки зрения это уравнение соответствует случаю, когда источники энергии расположены на бесконечно большой глубине.

Предполагая, что решение уравнения (3.28) существует, продифференцируем его по . В результате находим

S'

=

0

K(|-'|)

S'(')

d'

S(0)

K

.

(3.29)

Сравнивая между собой уравнения (3.29) и (3.10), мы видим, что

S'

=

k

S

+

S(0)

,

(3.30)

где k — некоторая постоянная. Из (3.30) следует

S

=

S(0)

e

k

0

e

k(-')

(')

d'

.

(3.31)

Для нахождения постоянной k рассмотрим уравнение (3.28) при =0. Учитывая (3.17), имеем