Эйнштейн говорит к тому же, что это «приливное воздействие» не требует для своего объяснения какой-то таинственной силы тяготения, распространяющейся через пространство-время и дополняющей структуру последнего. Напротив, «приливное воздействие» может и должно быть описано на языке геометрии самого пространства-времени как кривизна пространства-времени. Хотя Эйнштейн говорил о 4-мерном пространстве-времени, его понятие кривизны можно проиллюстрировать с помощью 2-мерной геометрии на поверхности сферы (рис. 137).

Рис. 137. Путешественники A и B, начав двигаться параллельно друг другу и не отклоняясь ни влево, ни вправо, обнаруживают тем не менее, что приближаются друг к другу, пройдя некоторое расстояние. Истолкование 1: действует какая-то таинственная сила «тяготения». Истолкование 2: движение происходит на искривлённой поверхности.

Притча о двух путешественниках

Первый путешественник A стоит на экваторе, готовый отправиться прямо на север. Его приятель B, стоявший плечом к плечу с A, поворачивается на 90° и направляется прямо на восток, проходит расстояние (x)=10 км по экватору, снова поворачивается на 90° и останавливается лицом к северу. После этого оба, и A, и A, начинают идти к северу и проходят по 200 км (рис. 137). Сначала их пути строго параллельны; более того, оба путешественника уверены, что каждый из них абсолютно точно выдерживает взятое им направление. Они не отклоняются ни вправо, ни влево. И тем не менее судья, посланный измерить расстояние между ними после того, как они прошли по 200 км, обнаруживает, что оно стало меньше первоначальных 10 км. Почему? Мы это прекрасно знаем: дело в том, что поверхность Земли искривлённая. Путешественники встретятся в конце концов на Северном полюсе. Обозначим широту через (=0°, cos =1 на экваторе, =90°, cos =0 на Северном полюсе). Тогда удаление одного путешественника от другого на некоторой промежуточной широте равно 10 км·cos . Для близких к экватору широт достаточно взять первые два члена разложения функции косинуса по степеням угла . Тогда мы получим для расстояния между путешественниками выражение x = (x) ·

1 -

^2

2

.

При этом угол определяется как отношение длины дуги s, пройденной с юга на север, к радиусу R земного шара: =s/R. Таким образом, уменьшение первоначального расстояния (x) определяется выражением (x) - (x) = (x) ·

^2

2 = (x) ·

s^2

2R^2 .

Если сначала это расстояние было равно (x)=10 км, длина s=200 км, а радиус R=6371 км, то сокращение расстояния должно составить 0,005 км, или 5 м. Эта величина производит впечатление, однако не своим численным значением (что значат 5 м по сравнению с 10 000 м?), а принципиальным фактом существования такого расхождения. Ведь никакого расхождения не было бы, если бы охваченная движением путешественников область 10 км·200 км была плоской. Существование этого расхождения — самое непосредственное свидетельство того, что используемая при описании 2-мерной поверхности земного шара геометрия должна быть геометрией искривлённого пространства.

Измерение кривизны по изменению удаления друг от друга двух первоначально параллельных идеальных линий1)

1) Здесь большей частью под «идеальными линиями» и «мировыми линиями» авторы понимают не любые мировые линии, а экстремальные, т.е. геодезические линии. - Прим. перев.

Как же можно адекватно описать и количественно измерить эту кривизну? Как можно прийти к числу, не зависящему от длины пути и расстояния между путешественниками,— к числу, описывающему саму локальную кривизну, а не путешественников? Заметим сначала, что расстояние между A и B уменьшается в ускоряющемся темпе, так что целесообразно говорить именно об этом ускорении. Как можно оценить его величину? Воспользуемся тем фактом, что относительное ускорение есть скорость изменения относительной скорости, а относительная скорость в свою очередь есть скорость изменения расстояния. Поэтому начнём именно с расстояния (удаления) x = (x) - (x)

s^2

2R^2 .

Пройдём дополнительно ещё небольшой путь, так что вместо s получим s+ds, где величина ds весьма мала по сравнению с другими интересующими нас величинами. В результате такого дополнительного сдвига расстояние сокращается до величины (x)нов = (x) - (x)

(s+ds)^2

2R^2 .

Имея в виду, что квадратом малой величины ds можно пренебречь, получим (x)нов = (x) - (x)

(s^2+2s ds)

2R^2 .

Возьмём разность между новым и старым удалением, разделим её на дополнительный путь ds и найдём тем самым скорость изменения удаления — «скорость удаления»:

Изменение

удаления

«Скорость

удаления»

= =

Дополнительный

путь, пройденный

путешественниками

=

(x)нов– x

ds =- (x)

s

R^2 . (136)

Скорость удаления равна нулю, когда A и B начинали свой путь от экватора (s=0), и причина этого была проста — пути A и B были тогда в точности параллельными. Но чем дальше к северу они продвигались, т.е. чем больше становилась величина s в уравнении (136), тем быстрее начинали приближаться друг к другу A и B. Такое «ускорение удаления» измеряется отношением

Скорость

удаления

«Ускорение

удаления»

= =

Расстояние от места,

где скорость удаления

была равна нулю

– (x) s = R^2 =- (x) . s R^2 (137)

Если бы наши путешественники начали свой путь при вдвое большем расстоянии друг от друга, чем в этом примере [(x)], то «ускорение удаления» возросло бы в два раза согласно уравнению (137). Другими словами, истинная мера кривизны поверхности земного шара определяется не самим «ускорением удаления», но «ускорением удаления на единицу первоначального удаления»:

Мера

кривизны

=

«Ускорение

удаления»

Первоначальное

удаление

= =

– /R^2

=-

1

R^2 .

Хотя эта величина и мала, но она доступна измерению — она равна — 1/(6,371·10 м)^2 = 2,5·10^1 м^2. Как это похоже на «приливное воздействие» (стр. 239)! Даже размерность одна и та же! Эта аналогия геометрического понятия «кривизны» и гравитационного понятия «приливного воздействия» и предвосхищает эйнштейновское геометрическое истолкование гравитации.