Шрифт:
Рис. 133. Общий случай изменения ориентации оси вращения электрона, когда последний меняет направление своего движения.
в) В процессе движения электрона по орбите проекция его оси вращения на плоскость xy (рис. 127) будет иногда параллельна направлению его движения (случай (а)), а иногда — перпендикулярна этому направлению (случай (б)). В общем случае она будет составлять некоторый угол с направлением движения электрона, меняющийся на d, когда электрон огибает угол. Чему может быть равна величина этого изменения, d? При =0 [случай (а)] d=-r^2sin ; при =90° [случай (б)] d=0. В общем случае изменение должно лежать между нулём и -r^2sin . Исходя из рис. 133, проведём следующие рассуждения, чтобы показать, что при малых и r^2 искомое изменение равно -r^2sin cos^2. Дополним первоначальную линию PQ её горизонтальной и вертикальной составляющими PR и QR. Из пунктов (а) и (б) мы знаем, что вертикальный отрезок QR не подвергнется повороту, когда электрон обогнёт угол, тогда как горизонтальный отрезок PR повернётся по часовой стрелке на угол r^2sin . Покажите, что при малых углах это приводит к неизменности x-компоненты PQ и уменьшению y-компоненты на величину (L cos )·(r^2sin ). Поэтому тангенс нового угла +d равен
tg(+d)
L sin -(L cos )(r^2sin )
L cos
=
=
tg
–
r
^2sin
.
(131)
Требуется найти tg dd; согласно табл. 8,
tg d
=
tg[(+d)-]
=
tg(+d)-tg
1+tg(+d)·tg
.
Используя равенство (131), получим
tg d
=
tg -r^2sin -tg
1+(tg -r^2sin ) tg
=
=
– r^2sin
1+tg^2-r^2sin tg
.
При очень малых можно пренебречь последним слагаемым в знаменателе, где останется тогда сумма
1+tg^2
=
1+
sin^2
cos^2
=
cos^2+sin^2
cos^2
=
1
cos^2
,
так что
tg d
d
=-
r
^2sin
cos^2
.
(132)
Это и есть тот угол, на который поворачивается (прецессирует) ось вращения электрона, когда последний огибает угол, изменяя направление своего движения на , в общем случае ориентации проекции этой оси вращения на плоскость орбиты под углом к направлению движения электрона.
г) Из уравнения (132) видно, на какой угол d поворачивается вектор спина электрона, когда электрон изменяет направление своего движения на , один раз огибая угол. Чему будет тогда равен полный угол прецессии при обходе электроном всей замкнутой орбиты? (См. рис. 127 и 128). В замкнутой орбите содержится n поворотов, каждый из которых происходит на угол =2/n. При больших n (малых ) sin так что полный угол прецессии спина при одном обороте электрона вокруг ядра составляет
–
r
^2(n)
cos^2
ср
–
r
^2
cos^2
ср
.
Чему равен множитель cos^2ср? Предположим, что полный угол прецессии за один оборот является малым (скорость r мала!). Тогда при обходе электроном его орбиты угол между переменным направлением движения и проекцией оси вращения на плоскость орбиты пробежит все значения от 0 до 2. Покажите, что в этом случае
cos^2
ср
=
1
2
2
0
cos^2
d
=
1
2
.
Поэтому полный угол прецессии спина электрона за один полный оборот по орбите равен
=-
r
^2
(угол прецессии за один оборот).
(133)
д) Электрон, двигающийся со скоростью =r, за один полный оборот по орбите прецессирует на угол =-r^2=-^2. Покажите, что электрону требуется совершить 2/=2/^2 оборотов вокруг ядра, чтобы прецессия возвратила его в прежнее положение (прецессия на 2 рад). Примем теперь боровскую частоту обращения электрона вокруг ядра за B Покажите, что частота прецессии Томаса T (частота прецессии спина электрона) выражается через боровскую частоту как
T
B
1
2
^2
(частота прецессии Томаса).
(134)
Мы знаем из упражнения 101, что скорость движения электрона на орбите в элементарной теории Бора равна
=
Z
n
=
Z
137n
.
Здесь Z — число элементарных зарядов в ядре, а n — номер энергетического уровня электрона, причём низший (основной) уровень соответствует n=1. Отсюда следует, что частота прецессии Томаса для электрона в атоме определяется выражением
T
B
1
2
T
137n
^2
(частота прецессии Томаса).
(135)
(Замечание. В некоторых атомах имеет место дополнительная прецессия спина электрона, обусловленная моментом силы, возникающим при взаимодействии магнитного момента электрона с магнитным полем ядра. Для электрона находящегося на внутренней орбите атома водорода, такая магнитная прецессия имеет обратное направление и вдвое превышает по абсолютной величине прецессию Томаса. Поэтому полный эффект состоит в прецессии с вдвое меньшей частотой по сравнению с тем, что предсказывает один лишь учёт магнитного взаимодействия без анализа эффектов частной теории относительности).