Шрифт:
x'
=-
1
м
.
t'
=
1 м
r
.
В лабораторной системе оба события происходят в одном и том же месте, но разделены отрезком времени t который по условию задачи следует положить равным L/(относительная скорость), где L —«длина» метрового стержня, измеренная таким путём в лабораторной системе отсчёта. Подставляя эти величины в формулы преобразования Лоренца (16), выразим t через относительную скорость:
t
=
L
r
=
r(-1 м)+(1 м)/r
1-r^2
.
Отсюда
L
=
1-
r
^2
м
,
что и соответствует лоренцеву сокращению, наблюдаемому в лабораторной системе [формула (38)].
14. Замедление хода часов. II
Согласно условию задачи, x'=0, а t'/=0. Расстояние между двумя событиями в лабораторной системе отсчёта можно вычислить по формуле преобразования Лоренца
x
=
0
+
t'
sh
r
.
От нас требуется «измерить» время, прошедшее между этими событиями в лабораторной системе, разделив полученное выше расстояние на скорость движения обеих систем друг относительно друга:
t
=
x
r
=
x
th r
=
t'
ch
r
Это и есть формула, описывающая замедление хода часов (44).
15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах
Просто подставим в формулы (37) t=tсек/c и r=vr/c. Обратные преобразования [(36) или (16)] примут тогда вид
x
=
x'
ch
r
+
ct
сек
'
sh
r
x'+vr tсек'
1-(vr/c)^2
,
t
сек
'
+
v
r
x'
t
сек
=
x'
sh
r
+
t
сек
'
ch
r
=
c^2
,
c
1-(v
r
/c)^2
16. Вывод формул преобразования Лоренца
Из первого предположения следует условие a+b=e+f, из второго — условие b-a=e-f, а третье предположение даёт r=b/f. В совокупности из полученных трёх условий найдём f/a=1, b/a=e/a=r. Подставляя эти значения коэффициентов в исходные формулы для x и t, запишите условие инвариантности интервала. Отсюда следует a=(1-r^2)^1/^2. Полученные формулы преобразования совпадают с (16).
17. Собственная длина и собственное время
а) Направьте ось x' вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте предположение, что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят одновременно. Тогда преобразование Лоренца даёт
t'
=
0
=-
x
sh
r
+
t
ch
r
,
откуда
sh r
ch r
=
th
r
=
r
=
t
x
<
1.
Так как отношение t/x меньше единицы, относительная скорость наших систем также меньше единицы, что подтверждает правильность предположения о существовании данной системы отсчёта ракеты. Из факта инвариантности интервала следует