Шрифт:
Рис. 76. Регистрация ускоренного движения ракеты в лабораторной системе отсчёта.
б) Какую скорость разовьёт космический корабль за данный промежуток времени? Но мы сразу же подвергнем этот вопрос критике и перефразируем его. Дело в том, что скорость — недостаточно простая для исследования величина. Простым является параметр скорости , и его простота состоит в аддитивности. Смысл же аддитивности в том, что, если параметр скорости космического корабля на рис. 76 относительно воображаемой мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта меняется от 0 до d за время d по часам астронавта, то параметр скорости этого корабля по отношению к лабораторной системе отсчёта за тот же промежуток времени по часам астронавта изменится от своего первоначального значения до значения +d. Свяжем теперь величину d с ускорением g* в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта. В этой системе
g*
d
=
d
th d
d
,
так что
d
=
g*
d
.
(64)
По прошествии каждого интервала времени d по часам астронавта происходит соответствующее увеличение параметра скорости космического корабля на d=g*d. Полная величина параметра скорости космического корабля в лабораторной системе отсчёта просто-напросто равна сумме всех этих последовательных увеличений параметра скорости. Пусть вначале космический корабль покоился. Тогда его параметр скорости линейно возрастал пропорционально величине истёкшего времени по часам астронавта согласно уравнению
=
g*
.
(65)
Так определяется параметр скорости космического корабля в лабораторной системе отсчёта в любой момент времени x в системе отсчёта астронавта.
в) Какое расстояние в лабораторной системе отсчёта x покрывает космический корабль за данный промежуток времени в системе отсчёта астронавта? В каждый момент скорость космического корабля в лабораторной системе отсчёта связана с его параметром скорости уравнением dx/dt=th , так что расстояние dx, пройденное за лабораторное время dt равно
dx=th dt.
Вспомним, что соответствующие промежутки времени по часам астронавта dx представляются как более длинные промежутки dt в лабораторной системе отсчёта (замедление хода времени), и между ними существует связь
dt=ch d.
Отсюда расстояние в лабораторной системе отсчёта dx, пройденное за время d по часам астронавта, равно
dx
=
th
ch
d
=
sh
d
.
Подставляя сюда выражение =g* из пункта (б), найдём
dx
=
sh(g*)
d
.
Просуммируем (проинтегрируем) все эти малые перемещения dx, начиная с момента «нуль» во времени астронавта и до конечного момента по этому времени; мы получим
x
=
1
g*
[ch(g*)-1]
.
(66)
Так выражается расстояние x в лабораторной системе отсчёта, покрытое космическим кораблём за любое данное время в системе отсчёта астронавта.
г) Переведём g* (в м/м^2) в g=g*c^2 (в м/сек^2) и (в м) в сек=/c (в сек) в формуле (66). Выясним, был ли прав инженер, заключив в своём отчёте о возможности полёта, упомянутого в начале этого упражнения (1 год 31,6·10 сек).
52*. Наклонный стержень
Рис. 77а. Метровый стержень движется перпендикулярно самому себе (наблюдение в лабораторной системе отсчёта).
Рис. 77б. Движение метрового стержня, наблюдаемое в системе отсчёта ракеты.
Метровый стержень, параллельный оси x, движется в положительном направлении оси y в лабораторной системе отсчёта со скоростью y. В системе отсчёта ракеты этот стержень несколько наклонён вверх в положительном направлении оси x'. Объясните, почему это так, причём сначала не пользуясь уравнениями. Пусть центр метрового стержня проходит через точку x=y=x'=y'=0 в момент t=t'=0, как это изображено на рис. 77а и 776. Вычислите затем величину угла ', образованного метровым стержнем и осью x' в системе отсчёта ракеты. Обсуждение. Где и когда пересекает правый конец метрового стержня ось x с точки зрения лабораторной системы отсчёта? Где и когда пересекает правый конец метрового стержня эту ось с точки зрения системы отсчёта ракеты? Экспериментально наблюдаемая томасовская прецессия электрона в атоме (см. упражнение 103) может быть объяснена тем же самым путём, что и явление наклона метрового стержня.
53*. Парадокс метрового стержня 1)
1) См. R. Shaw, American Journal of Physics, 30, 72 (1962).
Замечание. До того как приступать к упражнению 53, следует разобраться в упражнении 52.
Метровый стержень, параллельный оси x лабораторной системы отсчёта, движется в ней по направлению к началу координат со скоростью r. Очень тонкая пластинка, параллельная плоскости xy в лабораторной системе отсчёта, движется в ней вверх в направлении оси y со скоростью y. В пластинке имеется круглое отверстие диаметром 1 м, в центре которого проходит ось y. Центр метрового стержня оказывается в начале пространственных координат лабораторной системы отсчёта в тот момент, когда движущаяся вверх пластинка достигает плоскости y=0. Так как метровый стержень претерпел лоренцево сокращение в лабораторной системе отсчёта, то он без труда проходит сквозь отверстие в пластинке. Поэтому в ходе движения метрового стержня и пластинки между ними не произойдёт соударения. Однако кто-нибудь может выдвинуть возражение против этого вывода и аргументировать его следующим образом: в системе отсчёта ракеты, где метровый стержень покоится, он не подвергнут сокращению, но зато в этой системе лоренцево сокращение испытывает отверстие в пластине. Поэтому невозможно, чтобы сохраняющий свою полную длину метровый стержень прошёл через сжавшееся отверстие в пластинке. Таким образом, соударение между метровым стержнем и пластинкой неизбежно. Разрешите этот парадокс, используя ответ, полученный в предыдущем упражнении. Ответьте без всяких оговорок на вопрос: произойдёт соударение метрового стержня с пластинкой или нет?