Шрифт:
В разных системах отсчёта координаты события различны
Сосредоточим теперь наше внимание на самих координатах как характеристике расположения события E относительно начала O. Мы сделаем это, заранее признавая, что они зависят от выбора системы отсчёта. В этом отношении положение координат гораздо менее универсально, чем положение инвариантного интервала как меры взаимного разделения событий. Пусть так. Физика должна приладиться к тому, что есть в мире. Описывать удалённость событий друг от друга следует тем методом, который лучше соответствует обстоятельствам. Бывает, что торпедному катеру полезнее указать, что расстояние между носом и кормой атакуемого судна 50 м. Но в другом случае может быть, что ему гораздо важнее указать, что положение носа судна относительно кормы 40 м к северу и 30 м к востоку. В той задаче, которая нас занимает, нам не интересно, что мировая точка распада -мезона отстоит от мировой точки его образования на величину инвариантного интервала , равную около 10 сек. Нам нужно охарактеризовать удалённость этих событий друг от друга самими координатами x и t.
а) Диаграмма пространства-времени лабораторной системы отсчёта.
б) Диаграмма пространства-времени системы отсчёта ракеты.
Рис. 25. Координаты точек рождения (точка O) и распада (точка E) -мезона, изображённые на диаграммах пространства-времени лабораторной системы и системы отсчёта ракеты.
Преобразование Лоренца для координат
Как бы сильно ни различались координаты (x',t') события E в системе отсчёта ракеты от его координат (x,t) в лабораторной системе, эти два набора координат связаны друг с другом вполне определённым и простым законом. Этот закон выражается через преобразование Лоренца
x
=
x'
1-r^2
+
rt'
1-r^2
,
t
=
rx'
1-r^2
+
t'
1-r^2
,
(16)
где r— скорость системы отсчёта ракеты относительно лабораторной системы отсчёта. Ввиду выполнения этого закона говорят, что координаты обеспечивают ковариантное описание взаимной удалённости событий в пространстве-времени в противоположность инвариантному описанию этой удалённости, обеспечиваемому интервалом. Корень «вари» в слове ковариантный»
Определение понятия «ковариантность»
указывает, что координаты изменяются (варьируют) при переходах от одной системы отсчёта к другой. Приставка «ко» означает, что преобразование координат всех событий производится по одному и тому же закону (координированно). Итак, для разных событий различны как координаты x' и t', так и координаты x и t, но четвёрка коэффициентов
1-
r
^2
– 1/2
,
r
·
1-
r
^2
– 1/2
,
r
·
1-
r
^2
– 1/2
,
1-
r
^2
– 1/2
,
связывающая эти два набора координат, обладает значениями, не зависящими от того, какое событие рассматривается.
В этом разделе мы будем обсуждать вывод формул преобразования Лоренца, их использование и их сходство с известными формулами преобразований эвклидовой геометрии, иллюстрируемыми на примере притчи о землемерах.
Три принципа, на которых основано преобразование Лоренца
Вывод преобразования Лоренца основывается на трех принципах, которые мы уже можем сформулировать:
1) Коэффициенты преобразования не должны зависеть от того, какое событие рассматривается («ковариантность преобразования»).
2) Выбор коэффициентов преобразования должен соответствовать тому, что точка, фиксированная в системе отсчета ракеты, движется в лабораторной системе отсчета со скоростью r в положительном направлении оси x.
3) Коэффициенты преобразования должны быть такими, чтобы любой интервал имел одно и то же значение в лабораторной системе и в системе отсчета ракеты.
Эти три принципа легко применить к случаю распада -мезона. В лабораторной системе отсчета это событие имеет координаты (x,t) относительно события — рождения мезона, и эти координаты должны быть выражены через скорость r системы отсчета ракеты, в которой -мезон покоится. Эту скорость непосредственно даёт отношение координат x и t,