Шрифт:
S
=
7
6
,
а ось y' в свою очередь обладает относительно оси y наклоном
S
r
=
3
4
.
Вопрос: выполняется ли следующий закон для наклонов:
Наклон OA
относительно
оси y
=
Наклон OA
относительно
оси y'
+
Наклон y'
относительно
оси y
?
Наклоны в эвклидовой геометрии не аддитивны
Проверка («экспериментальная математика»):
7
6
=
2
9
+
3
4
?
42
36
=
8
36
+
27
36
?
42
=
8
+
27
=
35
?!
Неверно!
Вывод: наклоны не аддитивны! Вопрос: раз наклоны не аддитивны, т.е. S не равняется сумме S' и Sr, то как же найти правильно наклон S из наклонов S' и Sr? Ответ:
(по определению наклона)
Наклон OA
относительно
оси y
=
S
=
x
y
=
[из (19)]
=
(1+Sr^2)^1/^2x'+Sr·(1+Sr^2)^1/^2y'
– Sr(1+Sr^2)^1/^2x'+(1+Sr^2)^1/^2y'
=
[сокращение числителя и
знаменателя на
(1+S
r
^2)^1
/
^2
]
=
x'+Sry'
– Srx'+y'
=
(деление числителя и знаменателя на
y'
)
=
(x'/y')+Sr
– Sr(x'/y')+1
.
Окончательный вывод:
S
=
S'+Sr
1-S'Sr
.
(20)
Иными словами, наклоны S' и Sr могут считаться аддитивными, лишь если произведением S'•Sr стоящим в знаменателе, можно пренебречь по сравнению с единицей.
Аддитивны углы наклона
Рис. 28. Угол — удобная мера наклона оси y' относительно оси y. Удобство здесь в том. что углы подчиняются простому правилу сложения: ='+r.
Так как наклоны не аддитивны, а значит, неудобны для описания относительного поворота двух систем координат, то как же выбрать лучшую характеристику этого поворота? Ответ: взять угол между осями y и y'. Почему? Потому что углы подчиняются простому закону сложения (рис. 28):
Угол между
OA и осью y
=
Угол между
OA и осью y'
+
Угол между
осями y' и y
,
или
=
'
+
r
.
(21)
Благодаря выполнению этого соотношения угол является простейшей характеристикой наклона.
Как связаны между собой новая и старая характеристики наклона — угол и наклон Sr оси y' относительно оси y? Ответ:
S
r
=
tg
r
(22)
(по тригонометрическому определению функции тангенса; см. рис. 29).
Рис. 29. Связь между взаимным наклоном Sr осей y' и y двух эвклидовых систем координат и углом r между этими осями.
Закон сложения величин наклона в эвклидовой геометрии
Вопрос: как можно расшифровать закон сложения величин наклона, если исходить из того, что эти величины суть тангенсы углов? Ответ: