Обобщенное перемещение:

Кинетическая энергия груза:

Кинетическая энергия элемента балки dc:

Уравнение изогнутой оси балки (вала):

В точке приложения груза:

При

формула имеет вид, как для предыдущего примера:

Потенциальная энергия системы:

Уравнение Лагранжа:

Для статического удлинения k необходим груз:

Находим:

– период

– частоту

– круговая частота

__

Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорного однопролетного вала, нагруженной двумя произвольно приложенными сосредоточенными силами [2,с.76].

Ограничения метода Релея приводят систему к системе с 1 степенью свободы. При точном рассмотрении системы, она имеет множество степеней свободы.

Перемещение каждого груза:

Наибольшие перемещения грузов являются амплитудой для

, для

Скорости грузов:

Максимальная скорость при

Максимальная скорость соответсвует переходу точки через статическое равновесие, т.к. фаза pt равна 0° или 180° при положении точки с на оси балки.

Скорость колебаний переменная, так как колебание происходит по закону синусоиды, например,

. При изменении положения и скорости точки, меняется энергия колебания. При колебании происходит непрерывный взаимный переход кинетической энергии в потенциальную.

Сумма энергий постоянна и является полной энергией системы при рассмотрении идеального случая без потерь:

Для какого-либо конкретного положения системы:

При нахождении точки на оси абсцисс (оси вала), потенциальная энергия равна нулю, кинетическая максимальная:

Т.е. вся полная энергия системы является максимальной кинетической энергией.

Для фазы pt равной 90° или 270° кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальная:

Т.е. вся полная энергия системы является потенциальной энергией.

Можно записать:

Для случая рассматриваемого груза:

Из этой формулы находится круговая частота:

Период колебаний:

___

Для трех грузов на валу, круговая частота запишется по формуле:

__

Для n грузов круговая частота запишется по формуле:

Как можно видеть, определение круговой частоты сводится к нахождению статических прогибов. Прогибы могут быть также найдены графоаналитически.

Для одного груза круговая частота запишется по формуле:

__

Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорного однопролетного вала, нагруженной распределенной нагрузкой [2,с.81].

Мешалки являются сосредоточенной нагрузкой на валу и пример приводится для сведения.