Это две распространенные, но совершенно различные формы роста, траектории которых отражают простые равенства. «Относительно медленный и устойчивый» будет лучшим качественным описанием линейного роста, а «ускоряющийся и переходящий в стремительный» – экспоненциального. Все, что подчиняется линейному росту, возрастает на одну ту же величину в течение заданного периода времени, следовательно, формула линейного роста выглядит просто:

Nt = N0 + kt,

где новое значение величины Nt (в момент времени t) рассчитывается путем увеличения начального значения (N0) на постоянную величину k за период времени t.

Анализ большого числа сталагмитов показывает, что эти конусообразные колонны солей кальция, образующиеся на полу пещер благодаря капающей воде, часто растут тысячелетиями почти линейно (White and Culver, 2012). Даже сравнительно быстрый рост со скоростью 0,1 мм в год означает, что сталагмит высотой 1 м вырастет за тысячу лет всего на 10 см (1000 мм + 1000 x 0,1). Если нанести этот результат на график, мы увидим плавно восходящую линию (рис. 1.3). Это, конечно, означает, что темп роста как доля общей высоты сталагмита будет постоянно снижаться. Для сталагмита, растущего со скоростью 0,1 мм в год в течение 1000 лет, он будет составлять 0,01 % в течение первого года, но всего 0,009 % спустя тысячелетие.

Рис. 1.3. Тысячелетие прироста сталагмитов, иллюстрирующее траектории линейного и экспоненциального роста

Для сравнения во всех случаях экспоненциального роста значение увеличивается в одинаковое число раз за каждый одинаковый период времени. Основной функциональной зависимостью является

Nt = N0 (1 + r)t,

где r – скорость роста, выраженная как доля единицы роста на единицу времени, например, при росте 7 % на единицу времени r = 0,07.

Экспоненциальный рост также можно выразить – после простой поправки на выбор единиц измерения времени – как

Nt = N0ert,

где e (e = 2,7183, основа натурального логарифма) возводится в степень rt, что легко проделать с помощью любого научного калькулятора. Мы можем представить себе пещеру, где количество капающей воды, содержащей одинаковую долю растворенных солей, постоянно возрастает, ведя к экспоненциальному росту сталагмита.

Если предположить очень малый прирост длины в размере 0,05 % в год, то сталагмит за 1000 лет увеличился бы в длину почти на 65 см (1,000 мм x 2,7180,0005 x 1000 = 1648,6 мм общей длины, или прирост в размере 64,86 см), что почти на 50 % больше, чем при линейном росте. Экспоненциальный рост отображается в виде восходящей кривой, крутизна подъема которой определяется скоростью роста (рис. 1.3). Через 10 000 лет линейно растущий сталагмит удвоил бы свою высоту, и она достигла бы 2 м, в то время как экспоненциально растущему сталагмиту понадобилась бы гигантская пещера, так как его высота составила бы 148,3 м. Экспонента – произведение скорости роста и времени, поэтому прирост может быть одинаково большим как в случае низкого прироста на более длинных интервалах времени, так и в случае более коротких интервалов более быстрого роста.

Еще одно простое сравнение показывает, что траектории линейного и экспоненциального роста находятся близко друг к другу на самых ранних стадиях роста, когда значения скорости роста и временного интервала невелики по сравнению с единицей: вскоре они начинают расходиться и в конце концов оказываются далеко друг от друга. Голд (Gold, 1992) считал, что колонии бактерий, живущих глубоко под землей, заполняют до 1 % всего пористого пространства в верхних 5 км земной коры, в то время как, по мнению Уитмана и др. (Whitman et al., 1998), объем, занимаемый микроорганизмами, составляет всего 0,016 % пористого пространства. Это все равно означает огромную совокупную массу микроорганизмов, но с крайне низким темпом размножения. Давайте предположим (ради простого примера), что физические и химические ограничения позволяют крошечной колонии, состоящей из 100 клеток (внезапно оказавшейся в результате сейсмического явления в новой полости скальной породы), расти на пять клеток в час. Очевидно, что к концу первого часа клеток будет 105, через 10 часов такого линейного роста колония достигнет 150 клеток, а через 50 и 100 часов – 350 и 600 соответственно.

По сравнению со многими обычными бактериями, Mycobacterium tuberculosis (микобактерия туберкулеза) – служившая одной из самых частых причин преждевременной смерти во времена до изобретения антибиотиков и по-прежнему остающаяся одной из основных причин смертности инфекционного генезиса, а также являющаяся причиной одной из наиболее устойчивых форм инфекционных заболеваний (Gillespie, 2002) – в большинстве обстоятельств размножается в легких человека медленно. Но в благоприятных лабораторных условиях количество ее клеток удваивается в течение 15 часов, то есть со скоростью приблизительно 5 % в час. Если мы снова начнем со 100 клеток, то к концу первого часа получим 105 – то же самое, что и при линейном росте подземных микроорганизмов. Через 10 часов экспоненциального роста в колонии будет 165 клеток (всего на 10 % больше, чем при линейном росте), но через 50 часов результат экспоненциального роста составит 1218 клеток (приблизительно в 3,5 раза больше, чем в случае линейного) и 14 841 клетку через 100 часов, то есть почти в 25 раз больше. Контраст очевиден: без априорных знаний по истечении первого часа мы не смогли бы определить разницу, но через 100 часов разница становится огромной, так как экспоненциальный рост на порядок выше.

Случаи линейного (постоянного) роста широко распространены. Расстояние (длина), которое проходит свет, излучаемый мириадами звезд, увеличивается на 300 000 000 м (299 792 458 м, если говорить точно) каждую секунду. Расстояние, преодолеваемое грузовиком, движущимся в среднем со скоростью 100 км/ч по ночному шоссе, за то же время возрастает на 27,7 м. Согласно закону Ома – напряжение (вольты, V) равно силе тока (амперы, А), умноженной на сопротивление (ом, ?) электрической цепи, – когда сопротивление не меняется, с ростом напряжения значение силы тока в цепи растет линейно [3] . Фиксированная (и не облагаемая налогами) почасовая оплата дает линейное увеличение зарплаты при увеличении рабочего времени. Поминутная тарификация сотовой связи (а не безлимитный тариф) ведет к линейному увеличению ежемесячного счета при линейном увеличении продолжительности разговоров.

В природе линейный рост часто встречается в качестве временного на ранних этапах постнатального развития, будь то поросята или дети. В развитых странах уже более века средняя ожидаемая продолжительность жизни растет линейно. Линейная траектория – единственная долгосрочная траектория роста урожаев, от основных зерновых до фруктов. Совершенствование технических характеристик и возможностей машин также происходит линейно, включая рост средней мощности американских легковых автомобилей со времен Ford Model T в 1908 году, максимальную силу тяги и степень двухконтурности [4] реактивных двигателей с момента их появления, максимальную скорость поездов, давление в котлах паровозов (с начала регулярной эксплуатации в 1830 году) и максимальное водоизмещение кораблей.