Допустим, что внешнее поле отсутствует, а сам проводник положительно заряжен. На очень больших расстояниях от проводника создаваемое им поле будет почти таким же, как поле точечного заряда. Следовательно, вдали от проводника эквипотенциальные поверхности будут близки к концентрическим сферам. Непосредственно около проводника эквипотенциальной является поверхность проводника. Поэтому, как видно из рисунка, эквипотенциальные поверхности будут сгущены около выступов проводника и разрежены около впадин в нем. Только в этом случае форма эквипотенциальной поверхности будет плавно превращаться из формы, повторяющей поверхность проводника, в сферу по мере удаления от проводника. Но там, где эквипотенциальные поверхности расположены гуще, быстрее изменяется потенциал, а, следовательно, больше электрическое поле. Отсюда следует, что на поверхности проводника поле (и плотность заряда) на выступах больше, чем на впадинах.

Особенно велики электрические поля на металлических остриях. Поле у острия отрицательно заряженного проводника может даже оказаться достаточным для уравновешивания работы выхода. В этом случае с острия будут стекать электроны.

Источник: А.В.Астахов, Ю.М.Широков «Электромагнитное поле», М., Наука, 1980, параграф 17.2.

Подробнее в книгах: Г.Е.Зильберман «Электричество и магнетизм», М., Наука, 1970, параграф 30;

Д.В.Сивухин "Общий курс физики" том 3, параграф 19 "Вычисление потенциала по напряженности поля".

• ВОПРОС № 83: Дано заряженное кольцо из проводящего материала, какие силы действуют на него, и под действием каких сил такое кольцо способно разорваться из-за заряда сосредоточенного на нём? Известны Е, Q, R, и т. д.

ОТВЕТ: Интуитивно ясно, что благодаря взаимному отталкиванию одноименных зарядов, кольцо натягивается и стремится разорваться. Если все делать точно, то следует выбрать тороидальную систему координат (в которой эквипотенциальная тороидальная поверхность кольца является координатной поверхностью) и все решать там. Это уже совсем не школьная задача! Поэтому мы поступим проще и получим оценочное решение (тем не менее без интегралов и тут не обойтись).

Пусть Q — заряд кольца, R — его радиус, r — радиус провода, из которого сделано кольцо. Будем считать, что малый радиус тороидального кольца много меньше, чем большой: r << R. Тогда поле вблизи проводника кольца можно приблизительно считать полем заряженного цилиндра: Е = kQ/(nRr), где k — константа в законе Кулона.

Плотность энергии электрического поля равна w = Е2/(8?k). Тогда энергию поля, сосредоточенного вблизи кольца, можно оценить как

W = интеграл wdV, где dV = (2?R)•(2?r)dr,

откуда W = kQ2ln(R/r)/(2?R).

Натяжение вдоль большой и малой образующей кольца-тора находится как изменение электростатической энергии при изменении соответствующего радиуса:

TR = — dW/d(2?R) = kQ2•(ln(R/r) — 1)/(4?2R2),

что при R >> r дает

TR = kQ2 ln(R/r)/(4?2R2), (1)

Tr = — dW/d(2?г) = kQ2/(4?2Rr) (2)

(дополнительные 2? в знаменателе возникли потому, что на самом деле производная берется не по радиусу, а по длине окружности).

Анализируя выражения (1) и (2), можно видеть, что разрывающие силы пропорциональны квадрату заряда тора. Сила TR обратно пропорциональна квадрату радиуса большой образующей тора и слабо (логарифмически) зависит от отношения большого радиуса тора к малому. Сила Тг обратно пропорциональна как большому, так и малому радиусу тора.

Очевидно, что сила TR, стремящаяся растянуть наш тор вдоль большой окружности, меньше силы Тг, стремящейся растянуть его вдоль малой образующей (сделать бублик толще) в отношении TR/Tr = (r/R)•ln(R/r). Поскольку логарифм является медленной функцией по сравнению со степенной, то при R» r TR/Tr ~ r/R.