Силы TR и Тг направлены вдоль поверхности тора нормально к малой и к большой образующим тора соответственно. Если сравнить силы натяжения на единицу длины ?R = TR/(2?г) и ?r = Tr/(2?R), то окажется, что натяжения поверхности тора по обоим направлениям практически равны (но вдоль длинной образующей натяжение все-таки немного (логарифмически) больше).

Т.е. видно, что «тонкий» тор (пер R >> r) будет разорван электростатическими силами, когда разрывающее усилие превзойдет предел прочности сплошного тора на разрыв:

kQ2/ 4?2R2) > ??r2,

где ? — предел прочности материала тора на разрыв.

Этот критерий на разрыв кольца легко получить методом размерностей с точностью до коэффициента.

Воробьев П.В.

• ВОПРОС 84: Расскажите подробнее о дискретизации и квантовании цифрового сигнала.

ОТВЕТ: В последнее время в технике идет переход на цифровые методы обработки информации. Это связано с тем, что цифровую информацию легче хранить (появились дешевые и удобные устройства для хранения информации, такие как жесткие диски компьютеров или лазерные диски), а также с тем, что цифровую информацию легко передавать по современным линиям связи практически без потерь.

Аналоговый сигнал — это в простейшем случае число x(t), зависящее от времени t. При записи на носитель информации или воспроизведении с него сигнал неизбежно искажается различного рода шумами. Восстановить искаженный сигнал (убрать шумы) нельзя. Можно, конечно, пытаться подавлять шумы, используя некоторую дополнительную информацию (например, можно подавлять частоты, в которых сосредоточены шумы), но при этом мы теряем также и информацию о самом сигнале, т. е. опять же вносим искажения.

При оцифровке сигнала x(t) производятся две операции — дискретизация и квантование. Дискретизация — это замена сигнала x(t) с непрерывным временем t на дискретизованный сигнал — последовательность чисел x(t1) для дискретного набора моментов времени t1, t2…, ti… (чаще всего интервалы между моментами времени ?t = ti — ti-1 берутся одинаковыми). При дискретизации, конечно, часть информации о сигнале теряется. Но если сигнал x(t) за время ?t не сильно изменяется, числа x(ti) и x(ti-1) близки друг к другу, то поведение x(t) между временами ti и ti-1 нетрудно восстановить (сигнал практически линейно изменяется во времени от x(ti-1) до x(ti). При дискретизации мы теряем частотные составляющие сигнала с частотами порядка f ~ 1/?t и выше.

При дискретизации время из аналогового как бы становится цифровым — моменты времени ti можно нумеровать, кодировать. Производится замена непрерывного времени t на нечто, которое может принимать не все значения, а только некоторые, а именно t1, t2,…, ti… Квантование сигнала — это нечто похожее, только данная процедура производится не со временем, а со значением сигнала х. Выбирается некий набор возможных значение сигнала x1, х2,…, хn… и каждому x(ti) сопоставляется ближайшее число из этого набора.

Приведем конкретный пример дискретизации и квантования: пусть сигнал x(t) такой, что x(t) = t1/2, шаг дискретизации ?t = 0.1 (т. е. набор моментов времени t = 0, 0.1, 0.2, …), значение сигнала х мы будем записывать с точностью до одной сотой (т. е. набор значений сигнала х = 0, ±0.01, ±0.02…). После дискретизации сигнала получим

Учитывая точность хранения значений х, после квантования получим

При дискретизации мы теряем высокие (f > 1/?t) частоты сигнала, при квантовании мы теряем маленькие (меньше ?х = xn — xn-1) изменения сигнала. Кроме того, получившийся после квантования сигнал xn(t1) отличается от реального (но уже дискретизованного) сигнала x(t1) на величину порядка шага квантования (или кванта) ?х. Это различие носит название шума квантования, и оно принципиально неустранимо.