Рис. 2: График функции ?(t) и определение положения точек t1, и t2.

Значит:

1) При 1/ln a <= — e– 1 <=> a >= e– e экстремумов у функции F нет.

2) При а < е– e функция F имеет один minimum в точке t1, равный Fmin = aet1/t1 и один maximum в точке t2 > t1, равный Fmax = aet2/t2; при этом t1 < = tmin= -1 и t2 > tmin = -1.

Таким образом уравнение (4) имеет три решения только в случае 2) и лишь в том случае если

Fmin > 1/ln a < Fmax. (5)

При этом в случае 2) условие (5) является не только необходимым, но и достаточным для наличия у уравнения (4) трех решений. Точки t1 и t2 определяются условиями ?(t1) = t1et1 = ?(t2) = t2et2 = 1/ln a. Т. е. необходимое и достаточное условие наличия трех решений принимает вид

Левые части уравнений в условиях (6) не зависят от а, и потому эти уравнения имеют вид f(t) = g(a), в то время как неравенства (6) данным свойством не обладают (обе их части зависят от а), что неудобно. Выразим из первого уравнения et1= 1/t1lna и подставим это в соответствующее неравенство. Тогда получим

Аналогично, Fmax = e1/t2/t2. Тогда условия (6) превращаются в

Вспоминая определение функции ?, перепишем условия в форме:

Данные условия удобны тем, что левые части их не зависят уже от а (т. к. функция ? не зависит от а) и имеют вид f(t) = g(а) (т. е. переменные t и а разделены).

Рис. 3: Графики функций ?(t) (красный) и ?(1/t) (синий) и определение точек t1 и t2 (зеленая прямая — на уровне 1/ln a).

Проверку условий (9) проведем в два этапа: сначала докажем выполнение усиленного варианта второго из условий (9), а затем увидим, что первое условие (9) следует отсюда уже автоматически.

Поскольку точки t1 и t2 определяются как точки пересечения графика функции ?(t) с горизонтальной прямой на высоте 1/ln a, функция ?(t) имеет единственный minimum в точке tmin = —1, то ясно, что t1 < —1 < t2.

Покажем, что Vt € (—1,0) ?(1/t) > ?(t). Для этого рассмотрим функцию ?(t) = ?(t)/?(1/t) = t2еt — 1/t'. Ясно, что ?(-1) = 1, а поскольку

Дальше все просто. Т. к. ?(t) < ?(1/t) Vt € (—1,0), то (обозначив 1/t через ?):

Поскольку t1 < —1 < t2, то соединяя (11) и (12), мы получим оба условия (9). Что и требовалось.

Коль скоро при a < е– e оба условия (9) выполнены, то действительно функция F имеет 1 minimum и 1 maximum, выполняется условие (5), и уравнение (4) в самом деле имеет три решения. Значит, и эквивалентное ему исходное уравнение (1) имеет три решения. Указанное положение дел иллюстрируется Рис. 4.

Рис. 4: Графики функций у = ax (красный), у = loga х (синий) и у = х (зеленый) — случай трех точек пересечения.

Одна из точек пересечения графиков функций у = ax (красный) и у = loga x; (синий) лежит на прямой у = х, т. е. является еще и решением уравнений аx = х и loga х = х, а остальные две симметричны относительно этой прямой. При а —> е– e данные точки «слипаются» на прямой у = х, при а = е~е имеет место касание графиков функций у = ах и у = loga х, а в дальнейшем, т. е. при a > е– e точка пересечения будет уже одна, и находиться она будет, конечно же, снова на прямой у = х (Рис. 5).