V1(n) = — V1

то число соударений N будет равно 2n (поскольку учитываются и соударения легкого шара со стенкой тоже, а соударения легкого шара с тяжелым шаром и со стенкой чередуются). Но условие (3) означает

При х —> оо дробь

поэтому, раскладывая арктангенс в окрестности нуля в ряд Тейлора, получаем:

Заменяя в последнем асимптотическом равенстве 2n на N и устремляя х к бесконечности, получаем:

N ~ ??x, х —> оо

что и требовалось.

Прибавление. На самом деле в решении есть лакуна. Конечное состояние системы, после последнего столкновения отвечает не обязательно нулевой скорости меньшего шара и скорости — V1 у большего. Такое конечное состояние соответствует случаю, когда последнее столкновение легкого шара происходит с тяжелым шаром, а не со стенкой, и необходимым условием выполнения условия (4) является кратность ? числу arctg (2?x/(x-1)). Последнее же условие выполняется далеко не при любом х. В тех случаях, когда условие (4) не выполняется последнее столкновение легкий шар претерпевает со стенкой и катится затем в сторону тяжелого шара, но уже больше не догоняет его из-за того, что скорость его стала меньшей, чем у тяжелого шара. Таким образом максимально строгое условие, налагаемое на n будет:

|V1(n)| > |v2(n)|. (5)

Из выражения для V– > (n) найдем v2(n)

Поэтому условие (5) превращается в:

Первый вариант соответствует началу процесса, второй — его завершению. Поскольку arctg (1/?x) — бесконечно малая величина при x —> оо, то последнее условие переходит в (4), так что решение с этого места не меняется.

Попробуем разобраться в вопросе о происхождении приливных сил на Земле. Рассмотрим систему двух тел: Земля — Луна (Рис. 1).

Рис. 1

Обычно говорят, что приливные силы на Земле возникают в точках А и В и обусловлены неоднородностью гравитационного поля Луны на расстояниях порядка земного диаметра (примерно 12 000 км), и это верно. В самом деле, гравитационное ускорение, испытываемое единичной массой воды в точке А из-за силы притяжения Луны составляет fA = Gm/(r + R)2, где G — гравитационная постоянная, m — масса Луны, r — расстояние между центрами Земли и Луны, R — радиус Земли. Аналогичное ускорение, испытываемое водой в точке В, составит fB = Gm/(r — R)2’ а ускорение самой Земли (которую мы полагаем твердым телом) будет между этими значениями: Gm/r2. Таким образом, разность гравитационных сил притяжения Луны, действующих на воду в точках А и В, как бы растягивает водную массу (как, впрочем, пытается растянуть и Землю) в стороны и отодрать ее от Земли, причем эта разность составляет

Сила же, отрывающая единичную массу воды в точках А и В от поверхности Земли, одинакова и по абсолютной величине составляет |fA — fB| = 2GRm/r3’

Однако наряду с гравитационным эффектом есть еще и центробежный. Именно, известно, что система Земля — Луна в соответствии с законами Кеплера вращается вокруг центра масс (обозначенного нами точкой С), расположенного на расстоянии рE от центра Земли и рM — от центра Луны, причем рE = (m/(m + M))•r, рM = (M/(m + M))•r, а M/m = 81. При этом единичные массы воды, расположенные в точках А и В, имеют центростремительные ускорения аA = w2(pE + R), аB = w2(pE — R), в то время как Земля имеет среднее ускорение аO = w2pE. Значит, в неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, на эти массы воды будут действовать центробежные силы, также стремящиеся отодрать воду от Земли, растянуть всю систему, и их разность составит ?аAB = 2w2R. Остается найти w2 и сравнить эффекты.

Т.к. тело массы M вращается по круговой орбите радиуса рE вокруг точки С под действием силы гравитационного притяжения GMm/r2, то

откуда

Таким образом получается, что

Т.е.

Мы видим таким образом, что если все вышеизложенное верно, то центробежный эффект не только присутствует, но и вносит основной вклад в поднятие воды при приливах, поскольку на порядок (вроде, в 40 раз!) сильнее.

В то же время представляется, что оба эффекта независимы, и обсуждать их надо по отдельности, поскольку порождены они различными физическими явлениями. Обосновывается данная мысль тем, что мы можем в принципе выделить эффекты по отдельности и рассматривать их изолированно один от другого. Для иллюстрации сказанного представим себе две группы ситуаций, в которых каждый раз действует лишь один эффект:

1. Никакого вращения нет, сила притяжения между Землей и Луной действует как обычно, но сами эти небесные тела прибиты к своим неподвижным местам гвоздями. Тогда, разумеется, никакой центробежной силы нет, ?аAB = 0, а неоднородность гравитационного поля Луны сохраняется, и потому приливы все-таки есть, но они чисто гравитационные. Т. е. воду от поверхности Земли отрывает лишь гравитация. Правда, поскольку вращение системы Земля-Луна вокруг их общего центра масс мы здесь выключили, то не только ?аAB = 0, но и вообще центробежной силы нет, сила притяжения воды Луной ничем не компенсируется, и потому вода (в той или иной степени) соберется в точке В и будет свисать там каплей. Таким образом, в данной ситуации в точке В будет наблюдаться мега-прилив, а в точке А — мега-отлив.

1’. То же, что и в пункте 1, но Земля не прибита гвоздями к своему месту, а поступательно падает на Луну под влиянием закона Всемирного Тяготения. Опять ?аAB = 0 (поскольку никакого вращения нет и в помине).

В неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, сила притяжения Луны компенсируется силой инерции, но происходит это лишь в центре Земли, а в точках А и В компенсация неполная, так что мега-приливов не будет, а будут симметричные приливы (гравитационные) в точках А и В. В инерциальной системе отсчета, связанной с системой отсчета центра масс системы Земля-Луна ситуация выглядит так: Земля падает на Луну с ускорением, равным местному ускорению свободного падения Луны в точке О, а массы воды в точках А и В падают со своими ускорениями, отличающимися от ускорения Земли — за счет этого происходит растяжение системы Земля-вода. Чисто гравитационное растяжение…