Так что же на самом деле сказал Ньютон? Погружение в классическую механику ждет нас в следующей главе. Пока же добавим к движению планет еще два важных понятия.

Первое из них — ускорение. Если объект в своем естественном состоянии движется по прямой с постоянной скоростью, ускорение служит мерой отклонения от этого состояния, то есть показывает, как изменяется скорость объекта. Как и скорость, ускорение представляет собой вектор, так как имеет определенное направление. Согласно второму закону Ньютона, самой известной формуле классической механики, ускорение пропорционально результирующей действующих на объект сил. Коэффициентом пропорциональности служит масса объекта:

(2.1)

Первый закон Ньютона утверждает, что в отсутствие внешних сил скорость объекта остается неизменной, а третий — что тела воздействуют друг на друга с равными силами, которые направлены в противоположные стороны. Чаще всего на объект действует сразу несколько сил, поэтому мы можем сложить их и получить единую, равнодействующую силу, которая и определяет ускорение. (Поскольку вектор — это длина и направление, две большие, но действующие друг против друга силы в сумме дадут очень маленькую.) Разделив обе части уравнения (2.1) на m, получим формулу для расчета ускорения:

.

Второе понятие — закон всемирного тяготения — не что иное, как окончательный вариант закона обратных квадратов, о котором говорили Гук и его друзья. Заслуга Ньютона в том, что новый закон полностью универсален: он объясняет и движение планет, и падение яблок на землю. Для нас эти вещи кажутся очевидными, но в те времена отыскать связь между космосом и фруктовым садом было огромным шагом вперед.

Рассмотрим два небесных объекта с массами m1 и m2, удаленные друг от друга на расстояние r. Примем за

«единичный вектор» длиной 1 (неважно, в каких единицах), направленный от объекта 2 к объекту 1. Ньютон говорит, что сила притяжения объекта 1, воздействующая на объект 2, будет равна

(2.2)

Число G — гравитационная постоянная, которая определяет величину силы тяготения. С точки зрения объекта 2 объект 1 является источником гравитации — физического свойства, создающего силу, — и наоборот.

Это уравнение немного сложнее предыдущих, но если сесть и подумать о нем, мы снова увидим пропорциональность двух векторов: силы

, с которой объект 1 воздействует на объект 2, и единичного вектора , который направлен от объекта 2 к объекту 1. Сложный вид уравнения объясняется тем, что коэффициент пропорциональности представляет собой произведение гравитационной постоянной, двух масс и обратного квадрата расстояния. В результате мы можем точно определить, как сильно Солнце воздействует на планеты: чем ближе к нему, тем сильнее.

При помощи двух простых правил — второго закона (2.1) и закона всемирного тяготения (2.2) — Ньютону удалось воспроизвести все законы Кеплера. Более того, он показал, что сила тяготения сферического объекта в точности равна силе тяготения точки, обладающей такой же массой и расположенной в его центре. Поэтому, если мы принимаем модель, в которой планеты и Солнце — большие шары, мы с тем же успехом можем считать их точками. Кроме того, можно усложнить эту модель: рассматривать не обособленные пары из Солнца и одной планеты, а целиком всю Солнечную систему. Благодаря законам Ньютона мы можем понять, как на движение других планет влияет, к примеру, Юпитер (самая большая планета). Именно так небесная механика стала столь точной наукой, что позволяет нам отправлять на Луну ракеты.

Мы не будем подробно рассматривать законы Кеплера в интерпретации Ньютона, лишь подчеркнем философские различия между двумя подходами к динамике планет (а значит, и к физике в целом). Кеплер говорит, что планеты движутся по эллипсам, делает предположения о скорости движения. Это глобальное утверждение, которое описывает орбиту в целом. Чтобы проверить его, нужно дождаться, когда планета сделает оборот вокруг Солнца, а затем проанализировать собранные данные.

Делая те же выводы, что и Кеплер, Ньютон идет совершенно иным путем. Он принимает за отправную точку какой-то конкретный, локальный момент времени и данные о планете, известные на этот момент: скорость, местоположение, действующие силы. Посредством второго закона он вычисляет ускорение, а затем экстраполирует результаты, чтобы понять, что будет с планетой в будущем.

Парадигма Лапласа в действии. Впервые предложенная Ньютоном, получившая философское осмысление в трудах Лапласа и развитая в дальнейшем другими учеными, в том числе Гамильтоном, она утверждает, что весь объем данных, необходимых, чтобы понять дальнейшее либо прошлое развитие системы, содержится в любом произвольно выбранном ее состоянии. В простой системе (как, например, планеты и Солнце) состояние можно описать положением и скоростью каждого из ее элементов. Вы можете возразить: нужны еще силы, которые воздействуют на планеты. Это действительно так. Но силы определяются скоростью и положением других элементов системы. И если у нас эти данные есть, мы готовы к работе.

Чтобы справиться с этой задачей, нужно решить два важных вопроса. Во-первых, мы говорим о скорости изменения различных величин. Скорость движения показывает, как быстро меняется положение в пространстве, ускорение — как быстро меняется скорость. Как выразить эти понятия в числах? Когда объект движется из одной точки в другую, мы можем определить его среднюю скорость: достаточно разделить пройденное расстояние на проведенное в пути время. Чтобы узнать мгновенную скорость в какой-то точке пути, этого недостаточно. Тут нужно действовать более умно.