Шрифт:
Однако механика Гамильтона имеет значительно более общий характер. Гамильтониан любой системы всегда будет функцией некоторого набора координат и соответствующих им импульсов, но при этом может иметь совершенно произвольный вид. Мы можем иметь любое количество импульсов и положений. В теории поля их будет бесконечно много. Встречаются гамильтонианы, в которых переменные смешиваются так, что нельзя отделить потенциальную энергию от кинетической. Большую часть времени современные физики проводят в поисках гамильтониана для изучаемой системы. Найдя его, можно получить все данные о ней. Поэтому нужно рассмотреть этот вопрос с более общей точки зрения.
Частные производные
Хотелось бы вывести уравнения Гамильтона, которые подходили бы для любых гамильтонианов. Для этого нам потребуется еще кое-что из высшей математики: частные производные.
Это связано с тем, что уравнения движения должны следовать из единой формулы — гамильтониана, а не отдельных выражений для кинетической и потенциальной энергий. Но если первая зависит только от p, а вторая — только от x, гамильтониан зависит от p и x одновременно. Необходимо понять, как брать производную функции нескольких переменных.
Производная функции представляет собой угол наклона кривой, ее графика. Но для функции двух переменных такую кривую построить нельзя: график будет трехмерным, напоминать холмистую местность, идти по которой можно в любую сторону. В зависимости от того, в каком направлении мы пойдем, мы можем спуститься или подняться, а может быть, и остаться на прежней высоте. Поэтому нужно придумать что-то посложнее, чем «угол наклона».
Частные производные — выход из этого положения. Поговорим о простой функции двух переменных, x и y: произведении x, y2 и константы a:
F(x, y) = axy2. (4.5)
Идея состоит в том, что функцию нескольких переменных мы можем рассматривать, поочередно перебирая их и считая все остальные константами. При этом мы получим несколько функций одной переменной, для каждой из которых мы можем взять производную. И чтобы всем было понятно, о какой производной идет речь, вместо буквы d пишут другую: ?. (Ее иногда также называют «дэ». Поэтому, чтобы не было путаницы, при чтении вслух лучше всего говорить «частная производная».)
У функции f(x, y) можно взять две частные производные: по x и по y. В первом случае мы дифференцируем ее по x, считая y и а константами. При этом получаем:
(4.6)
Во втором случае, наоборот, дифференцируем по y, а постоянными считаем x и a:
(4.7)
Функция двух переменных, f(x, y) = xy2. Мы можем взять частную производную по x, приняв y за постоянную, либо наоборот — частную производную по y, приняв за постоянную x.
Вот, в принципе, и все. Чтобы взять частную производную, находим обычную производную по выбранной переменной, считая все остальные константами (и вынося за знак производной). В реальности эта задача бывает ужасно сложной: иногда люди тратят целую жизнь, чтобы найти более удачное решение, чем было получено ранее. Мы же не будем столь пристально их рассматривать. Все, что нам нужно, — понять, откуда взялись уравнения Гамильтона.
Объединим полученные знания. Мы поняли, что уравнения движения для импульса и положения можно получить, продифференцировав соответственно потенциальную и кинетическую энергию. Суммарная энергия, гамильтониан (в данном простом примере) — сумма двух энергий. Взяв частные производные этой суммы, то есть обычные производные по каждой из переменной, мы получим уравнения Гамильтона в самом общем их виде:
(4.8)
Здесь нет опечаток, честное слово! Знак «минус» действительно должен быть в первом выражении, не во втором. На это есть ряд причин, но они покрыты столь толстым слоем математики, что лучше туда не лезть. (Почитайте про «симплектическую геометрию», если интересно.) В левых частях выражений стоят обычные производные (со знаком «d»), а в правых — частные (со знаком «?»). И это правильно: импульс и положение — функции одной переменной: времени, а гамильтониан — функция двух переменных: импульса и положения. Поэтому нам и нужны частные производные.
Элегантный подход. По философии Ньютона, для каждой части системы будет свое уравнение движения с описанием действующих на нее сил. И рассмотрев их, мы сможем констатировать, что некая величина — «энергия» — сохраняется. По философии Гамильтона, мы поступаем наоборот: берем единственную формулу — гамильтониан, который связывает энергию с импульсом и положением, — а затем выводим из нее все нужные уравнения движения. Все это работает и в более сложных системах, части которых взаимодействуют друг с другом каким-то хитрым образом. В любом случае найдется гамильтониан, единый на всю систему и содержащий в себе все знания по ее динамике.