Правильный путь — оставить в покое идею сравнения часов. Отставание по времени совершенно нормально и соответствует теории относительности. Нашим глазам и чувствам открыта лишь малая часть этого мира. Мы не имеем полной его картины, а значит, не вправе считать, что он устроен именно так, как мы его видим.

Мы долго предавались словесным рассуждениям. Настало время для уравнений.

Как нам уже известно, время, измеренное движущимся в пространстве-времени хронометром, аналогично показаниям одометра, то есть расстоянию, пройденному по траектории в обычном пространстве. Нужно бы нарастить на этот скелет немного численного мясца. Поэтому мы задумаемся о том, как измеряется расстояние.

Ответ нам дают Пифагор и его теорема. В прямоугольном треугольнике один из внутренних углов равен 90°, а длинная сторона, которая лежит напротив него, называется гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат ее длины равен сумме квадратов двух других сторон: a2 + b2 = c2. Это свойство весьма интересно само по себе и приводит в восторг любителей геометрии. Крайне важно оно и для нас, определяющих положение в пространстве в декартовых координатах.

Рассмотрим для простоты изложения двумерное пространство, координаты в котором мы по традиции обозначим за x и y. Мы можем четко определить расстояние d между любыми двумя точками в этом пространстве. Построим для этого прямоугольный треугольник: начнем из первой точки и будем двигаться в направлении x (по горизонтали), пока не поравняемся со второй точкой, а затем в направлении y (по вертикали), пока не дойдем до нее. В этом треугольнике длины коротких сторон будут равны ?x и ?y, а длина гипотенузы и будет нужным нам расстоянием d. (Напомню, что греческая буква дельта показывает изменение стоящей за ней переменной.) Поэтому, согласно теореме Пифагора, расстояние между двумя точками можно выразить через изменение координат:

d 2 = (?x)2 + (?y)2. (6.1)

Скорее всего, вам это известно. Отличная новость в том, что практически все то же самое работает и в пространстве-времени. Я говорю «практически», так как есть одно важное изменение: в пространстве-времени в теорему Пифагора прокрадывается знак «минус». Именно он и виновен в том, что на прямых вместо «минимального расстояния» мы получаем «максимальное время».

Возьмем теперь упрощенное двумерное пространство-время, в котором будет одна координата x для пространства и координата t для времени. Представим в нем прямую линию между двумя событиями (рассмотрим движение с постоянной скоростью). Обозначим собственное время, которое измеряется взятыми в путь часами, греческой буквой тау (?). Как и в прошлый раз, обозначим изменение координат за ?x для пространства и ?t для времени.

Отличительная особенность пространства-времени Минковского — дома, в котором живет и действует специальная теория относительности, — состоит том, что собственное время можно определить по формуле, похожей на теорему Пифагора, но в которой пространственный компонент является не слагаемым, а вычитаемым:

? 2 = (?t)2 — (?x)2. (6.2)

Это простое уравнение сообщает нам очень много о том, как работает пространство-время (в общем-то большего знать и не надо). Возьмем неподвижного наблюдателя. В придуманной нами системе координат он будет двигаться во времени, сохраняя свое положение в пространстве. Поэтому для него ? 2 = (?t)2, то есть ? = ?t. Собственное время неподвижного наблюдателя строго совпадает с разностью координат по оси времени. Именно к этому мы и привыкли в обычной жизни.

Совсем по-другому идут дела у тех, кто куда-то бежит. Для них ?x не будет равно нулю, а значит, их собственное время будет меньше, чем у неподвижного наблюдателя за счет того самого знака «минус» из формулы (6.2). Так теория относительности навязывает нам сделку: чем больший путь в пространстве проходим мы, двигаясь от события к событию, тем меньше проходит для нас времени.

Пока что мы говорили лишь о прямых траекториях. На самом деле мы ими не ограничены и можем записать уравнение для любой мировой линии. Догадываетесь как? Для этого нужно записать выражение (6.2) в бесконечно малых величинах, а затем применить высшую математику. Для начала получим

d? 2 = dt2 — dx2. (6.3)

Чтобы вычислить собственное время, затраченное на движение по траектории, нужно взять интеграл ?? = ?d?.

Есть мнение, что специальная теория относительности работает только для равномерного движения, а при ускоренном не обойтись без общей. Ерунда. Общая теория относительности приобретает важность в искривленном пространстве-времени, где действует гравитация. В плоском пространстве-времени, которое предложил Минковский, а мы — рассматриваем в этой главе, действует специальная теория, но траектории могут быть любыми.

Время покаяться. Мы немного схитрили, изменяя теорему Пифагора и выводя уравнения (6.2) и (6.3). Вспомните про анализ размерности. Физические величины можно складывать только при том условии, что они выражаются в одних и тех же единицах измерения. Но ?2 и (?t)2 — это квадраты времени, а ?x2 — квадрат расстояния. О чем мы думали, вычисляя их разность?