V(x) = cx2 + dx3 + ex4 + … (3.10)

Теперь, исходя из тех же соображений, мы можем сказать, что при достаточно малых значениях x все степени высокого порядка будут пренебрежимо малы. Другими словами, в довольно грубом приближении мы видим, что потенциал колебательной системы вблизи точки равновесия выражается формулой

V(x) ? cx2. (3.11)

А это просто парабола, то есть мы получаем простой гармонический осциллятор. Это удивительный результат: в отсутствие трения, при малых отклонениях от точки равновесия почти любую колебательную систему можно аппроксимировать простым гармоническим осциллятором [7] . Шар у подножия холма, груз на пружине, маятник или атом, смещающийся внутри молекулы, амплитуда звуковой волны или электрического тока, даже значение поля бозона Хиггса — если систему можно описать в терминах кинетической и потенциальной энергии, рядом с точкой, где она минимальна, потенциал можно аппроксимировать параболой, а значит, физически эта система будет вести себя как гармонический осциллятор. Такое соответствие не будет точным, поскольку вдали от точки равновесия члены (3.10) с большими степенями будут иметь значение. Однако такие усложнения можно добавить к модели позже.

Итак, мы видим, как сферические коровы становятся реалистичными и философия обретает практический смысл. Мы не просто рассматриваем донельзя упрощенные системы и надеемся на лучшее.

Идея взять сложное выражение и записать его в виде бесконечного ряда слагаемых, как в уравнении (3.9), применима к широкому кругу задач. И нам очень часто везет: последующие члены ряда меньше, чем несколько первых. Поэтому появился систематический метод, известный как теория возмущений: мы записываем формулу, которая показывает работу системы как сумму из двух частей: несложной основы и небольшого возмущения. Затем мы находим решение для основной части и начинаем постепенно накладывать все остальное. Иногда (не всегда) Вселенная помогает нам понимать ее.

Согласно парадигме Лапласа, траектория системы определяется скоростью и положением всех ее частей в какой-то момент времени. Мы уже знаем, что импульс объекта равен произведению его массы на скорость,

. Поскольку обычно мы рассматриваем системы с постоянной массой, то для предсказания поведения системы указание «позиции и импульса» эквивалентно указанию «позиции и скорости». Когда мы перейдем к более сложным вопросам физики (то есть уже в следующей главе), мы сможем понять, что с определенной точки зрения импульс значительно более важен, чем скорость, и будем использовать именно его.

Множество всех возможных импульсов и положений системы называется ее фазовым пространством:

(Фигурные скобки {} обычно обозначают множество.) Чтобы проследить движение системы в соответствии с механикой Ньютона, достаточно указать, в какой точке фазового пространства она находилась в тот или иной момент времени. Другими словами, фазовое пространство — это множество всех возможных состояний, в которых может находиться система.

Рассмотрим один довод в пользу того, что импульс более важен, чем скорость. Ускорение представляет собой производную скорости по времени. Второй закон Ньютона

неявным образом предполагает, что масса объекта всегда постоянна. Поскольку константа может быть вынесена за знак производной, можно представить себе эту формулу не как произведение массы на производную скорости, но как производную произведения массы на скорость:

(3.12)

Поэтому можно переписать второй закон Ньютона, выразив силу через импульс:

(3.13)

В таком виде уравнение становится не только более компактным, но и более общим, поскольку остается в силе даже для объектов с переменной массой (например, для ракеты, которая постепенно становится легче, сжигая топливо). Сила показывает изменение импульса с течением времени.

В мире, который мы знаем, объекты находятся в трехмерном пространстве. Но математики, а следом за ними и физики, понимают слово «пространство» в более общем смысле: как некое множество с какой-то дополнительной структурой. Поэтому «множество всех возможных положений отдельного объекта» — это не что иное, как старое доброе трехмерное пространство. В отличие от него фазовое пространство является шестимерным: три измерения определяют положение, три других — импульс (который представляет собой трехмерный вектор).

Если система состоит из N частиц, расположенных в трехмерном пространстве, можно говорить о ее конфигурационном пространстве, которое имеет размерность 3N и показывает трехмерное положение каждой из частиц. Поскольку каждая частица обладает также трехмерным импульсом, существует и соответствующее 6N– мерное фазовое пространство. Система «Земля и Луна» — это два объекта, которые движутся в трехмерном пространстве. Поэтому фазовое пространство этой системы будет иметь размерность 12. И это если не принимать в расчет, что планеты — совсем не частицы, и надо бы учесть их ориентацию и моменты инерции.