Шрифт:
(A.14)
Вертикальные черточки — это знак модуля: если значение x положительно, оно остается как есть, если же отрицательно — умножается на –1, то есть становится положительным. Функция ln x — натуральный логарифм. О них мы поговорим в следующем разделе.
Экспоненты и логарифмы
Теперь рассмотрим экспоненциальную функцию, то есть основанием является постоянная, а переменная выступает в роли показателя степени: f(x) =ax. Все очень просто. График этой функции (для а = 2) будет иметь вид:
Функция, обратная к ax, называется логарифмом (по основанию а), то есть:
(A.15)
Обычно экспонента означает быстрый рост, а логарифм, напротив, медленный рост с возрастанием x. При x = 1 логарифм всегда равен нулю, тогда как loga(a) = 1. При очень малых значениях x логарифм стремится к —?, что объяснимо, ведь loga(x) — это «основание, которое нужно возвести в степень a, чтобы получить x», а значит, чтобы получить очень маленькое значение x, нам нужно возвести его в очень большую отрицательную степень.
В мире экспонент и логарифмов есть особое число — число Эйлера:
e = 2,71828… (A.16)
В дробной части числа e бесконечное число цифр, которые никогда не образуют повторяющихся групп. Точно так же, как в числе ? = 3,14159… Это так называемые иррациональные числа, которые нельзя представить как частное двух целых чисел. Есть много способов определить число e, но, пожалуй, самый лучший из них таков: функция ex — единственная непостоянная функция, которая равна собственной производной:
(A.17)
При других основаниях производная экспоненты равна:
(A.18)
Здесь снова появляется натуральный логарифм. Теперь мы можем сказать, что он равен логарифму по основанию e:
ln(x) = loge(x). (A.19)
Мы уже видели натуральный логарифм в выражении (A.14) — формуле интеграла от функции 1/x. Если посмотреть на выражение (A.18) и вспомнить, что loga(a) = 1 при любых a, можно заметить, что при a = e неудобный множитель ln(a) исчезает, и мы получаем красивую формулу (A.17). Вот почему большинство физиков по возможности используют e в качестве основания логарифма.
Формула интеграла от логарифма так же проста:
(A.20)
Производная логарифма:
(A.21)
Интеграл от него:
(A.22)
Для тренировки попробуйте посмотреть, как изменятся эти формулы при a = e, когда ln(a) = ln e = 1.
Тригонометрические функции
И наконец, мы рассмотрим еще один набор часто используемых функций: тригонометрические функции, а именно синус и косинус. Их аргументы, как правило, представляют собой углы, а не просто реальные числа, и чтобы подчеркнуть это, мы будем использовать букву ? вместо x. Кроме того, важно сказать, что все углы мы будем измерять в радианах, а не в градусах. Сто восемьдесят градусов соответствуют ? радиан. Несложно выполнить и обратное преобразование.
Мы обсуждали тригонометрические функции в главе 3, поэтому здесь мы сразу перейдем к их интересным свойствам. Теорема Пифагора показывает нам знаменитое соотношение между синусом и косинусом:
(sin ?)2 + (cos ?)2 = 1. (A.23)
Также по теореме Пифагора мы можем определить модуль (длину) вектора
(A.24)
Тогда скалярное произведение двух векторов мы можем выразить двумя равнозначными способами: через компоненты и при помощи косинуса угла между векторами:
(A.25)
Синус и косинус, что любопытно, являются производными друг друга:
(A.26)
(A.27)
Главное, не перепутать, где ставить минус. Запомнить это несложно: график cos ? начинается с единицы и направлен вниз. Значит, его производная для небольших углов будет отрицательна, что означает — sin ?. Интегралы находятся аналогичным образом. Единственное отличие — минус появляется в другом месте (что и логично, ведь интеграл — обратное действие к взятию производной).
(A.28)