Шрифт:
(A.29)
Приложение Б. Связность и кривизна
Обсуждая геометрию (глава 7), мы рассмотрели все понятия, нужные для понимания концепции геодезических линий и уравнения Эйнштейна, не сказав при этом ни слова о том, как вывести их из какой-то произвольной метрики. Заполним пробелы. Представим себя в четырехмерном пространстве-времени и перейдем с латинских букв на греческие. Впрочем, все формулы будут работать и в обычном пространстве, и при любом количестве измерений.
Когда в главе 8 мы выводили уравнение Эйнштейна, нам потребовался скаляр кривизны Риччи, который можно получить при помощи «обратной метрики». Давайте обсудим, что это такое. Для начала введем чрезвычайно полезный тензор — дельту Кронекера, у которой есть один верхний и один нижний индекс. В четырех измерениях он выглядит следующим образом:
(Б.1)
В матричном представлении дельта Кронекера представляет собой единичную матрицу — аналог единицы в стране матриц: при умножении любой матрицы на единичную мы получаем исходную матрицу.
С учетом этого можно представить обратную метрику как тензор, который нужно умножить на исходную метрику, чтобы получить дельту Кронекера. Метрический тензор gµ? представляет собой симметричный тензор с двумя нижними индексами, а значит, обратная метрика будет симметричным тензором с двумя верхними и соответствовать следующему условию:
gµ?g?? = ?µ?. (Б.2)
Какое прекрасное зрелище! Взгляните на индексы. В формулах с тензорами они бывают двух типов: немые и свободные. Немые индексы всегда встречаются дважды: один раз вверху и один раз внизу, как ? в выражении (Б.2). Сама буква значения не имеет, важно лишь, чтобы она была и в верхней, и в нижней позиции. (Суммировать только по верхним или только по нижним импульсам нельзя.) Свободные индексы, напротив, встречаются только один раз, как µ и ? в выражении (Б.2). Мы можем выбрать любые буквы, но крайне важно, чтобы они были в каждом слагаемом (то есть произведении элементов тензоров). Именно так происходит в выражении (Б.2): верхний индекс µ и нижний индекс ? — свободные индексы, которые есть и в левой, и в правой части. Попытка сложить тензоры с несовпадающими свободными индексами ни к чему хорошему не приведет.
В обычной геометрии Евклида о метриках ничего не говорится. Но это не значит, что их там нет. Например, мы можем сказать, что скалярное произведение двух трехмерных евклидовых векторов равно
(Б.3)
Сравнив элементы (трехмерных модификаций) матриц из выражений (Б.1) и (Б.2), получим обратную матрицу, которая будет выглядеть точно так же:
(Б.4)
Именно поэтому можно пройти полный курс геометрии в средней школе, ни разу не услышав слово «метрика». В плоском пространстве и декартовых координатах все элементы метрики, обратной метрики и дельты Кронекера одинаковы.
Однако в общем случае это не так: элементы обратной метрики обычно не совпадают с элементами обычной. Если метрика диагональна, нам повезло (чего не сказать о тех, кому досталась не диагональная): все элементы обратной метрики будут обратны по отношению к элементам обычной. Например, для плоского трехмерного евклидова пространства в сферических координатах метрика равна:
(Б.5)
Обратная метрика в этом случае будет равна:
(Б.6)
В плоском пространстве мы можем, по крайней мере, выбрать декартову систему координат, в которой обычная метрика совпадает с обратной. Но в общем случае такой возможности нет, поэтому метрики важно различать.
Наличие обычной и обратной метрик позволяет нам выполнять две любопытные операции с тензорами: опускание и поднятие индекса. Как можно заметить даже по обозначениям матриц, разница между верхними и нижними индексами принципиальна. Но мы можем опустить верхний индекс, то есть сделать его нижним. Для этого тензор нужно умножить на метрику и просуммировать по этому индексу. Аналогичным образом можно поднять нижний индекс при помощи обратной метрики. Например, если у нас имеется вектор vµ, можно сказать, что:
v? = g??v?. (Б.7)
И если обратная метрика соответствует условию (B.2), сначала опустив, а затем подняв индекс любого тензора, мы гарантированно получим исходный тензор (поскольку суммирование по ??? равносильно полному отсутствию каких-либо действий):
g µ?v? = g µ?g??v ? = ? µ?v ? = v µ. (Б.8)
Именно эти тензорные операции были нужны нам, чтобы определить скалярную кривизну Риччи в главе 8. У тензора Римана обычно один верхний и три нижних индекса, поэтому несложно «свернуть» один из них (просуммировать по нему) и получить тензор Риччи: Rµ? = R?µ??. Но дальше мы получаем тензор с двумя нижними индексами, который уже невозможно свернуть в скаляр. Однако мы можем поднять один из них при помощи обратной матрицы: Rµ? = gµ?R??, после чего приступить к свертке: R = R?? или, что то же самое, R = g??R??. Именно этот скаляр и позволил Эйнштейну найти такой тензор, который может быть пропорционален тензору энергии-импульса без нарушения закона сохранения энергии.