Шрифт:
Интегрирование и дифференцирование — линейные операции, то есть производная линейной комбинации равна линейной комбинации производных. То же самое касается и интегралов. Для производных имеем:
(A.6)
Для интегралов:
(A.7)
То же самое (разумеется) происходит и в случаях, когда второго слагаемого нет, то есть мы ищем производную либо интеграл от af(x). В таких случаях мы «выносим константу за знак производной (или интеграла)». А так как мы интегрируем по x (на что указывает обозначение dx), мы можем считать константой все, что не зависит от x, даже если речь идет о функциях других переменных: ?f(x)g(y)dx = g(y)?f(x)dx.
Произведения
Поговорим о произведении двух функций, f(x)g(x). Мы будем опускать (x) и писать fg: так будет понятней. В таких случаях используется простая, но не слишком интуитивная формула:
(A.8)
То есть у нас «сумма произведения первой функции на производную второй и произведения второй функции на производную первой». Это так называемое правило Лейбница (про которого мы уже не раз говорили).
Именно потому, что есть вот такая симпатичная формула, математики и считают взятие производных «легким» процессом. Почти все интересующие нас функции можно представить (может быть, рекурсивно) в виде суммы или произведения других функций. Правило Лейбница подразумевает, что производные большинства функций могут быть в явном виде выражены через другие функции (или, как мы говорим, «в замкнутой форме»).
Казалось бы, по аналогии с производными должна существовать столь же красивая формула для интегралов. Но, к сожалению, это не так. Интегрировать трудно и в теории, и на практике.
Степени
Переходя от общих принципов к конкретным функциям, мы часто сталкиваемся с переменной x, возведенной в степень a: xa. При этом переменная называется основанием, а число а — показателем степени. (Эти функции следует отличать от экспонент, где какая-то постоянная возводится в степень переменной. Мы поговорим о них позже.) Если a — целое положительное число, то xa равно x, умноженному само на себя а раз. Но есть математические правила, при помощи которых можно возвести x в любую степень: хоть в дробную, хоть в отрицательную, хоть в комплексную.
Два полезных свойства степеней: при перемножении степеней одной и той же переменной показатели степени складываются, при возведении переменной в какой-то в степени в другую степень — перемножаются.
x ax b = x a+b, (x a)b = x ab. (A.9)
Рассмотрим несколько простых (и, вероятно, знакомых) примеров. Функция x2 называется параболой.
< image l:href="#"/>Эта функция никогда не принимает отрицательных значений, поскольку при умножении двух отрицательных чисел (в данному случае двух — x) получается положительное число. То же самое происходит при возведении x в любую четную степень. Графики таких функций будут похожи на параболу. Если же возводить x в нечетную степень, отрицательная сторона функции будет отрицательная, как на графике функции x3.
Переменную можно возвести и в дробную степень, хотя при этом мы ограничены только неотрицательными значениями x. Можно сказать, что возведение в степень 1/a отменяет его возведение в степень a, так как при этом показатели степени складываются:
(A.10)
В результате график функции
Чтобы понять, что происходит с числом при возведении в отрицательную степень, рассмотрим произведение числа в первой и минус первой степенях.
x · x –1 = x 1–1 = x 0 = 1. (A.11)
Тогда понятно, что x–1 = 1/x. Такая функция называется обратной. Ее график имеет разрыв при x = 0, но мы не должны этого бояться. Мы говорим, что в этой точке функция 1/x не определена.
Производная степени — сама простота: показатель степени без изменений опускается вниз, а из исходного показателя вычитается единица:
(A.12)
При интегрировании, как можно представить, показатель увеличивается на единицу:
(A.13)
Забавы ради можно убедиться в этом: сначала взять производную, а потом найти от нее интеграл. Получится исходная функция.
Но есть здесь одна проблема: при a = –1 в выражении (A.13) появляется деление на ноль. Действительно, для этого случая предусмотрена отдельная формула: