Как, по-вашему, истинно или ложно такое утверждение?

В. ЕСТЬ ЛИ СОКРОВИЩА НА ЭТОМ ОСТРОВЕ?

Задачи двух предыдущих групп были связаны в основном с условными высказываниями, то есть с высказываниями вида "Если P истинно, то Q. Задачи этой группы связаны главным образом с высказываниями вида "P истинно в том и только в том случае, если Q истинно". Оно означает, что если P истинно, то Q истинно, и если Q истинно, то P истинно.

Иначе говоря, если одно из двух высказываний P, Q истинно, то другое также истинно. Оно означает также, что высказывания P и Q либо оба истинны, либо оба ложны.

Сложное высказывание "P в том и только в том случае, если Q" принято обозначать "P - Q".

Таблица истинности для P - Q имеет следующий вид:

P Q P - Q

И И И И Л Л Л И Л Л Л И

Высказывание "P в том и только в том случае, если Q"

иногда читают как "P эквивалентно Q" или как "P и Q эквивалентны". Отметим два следующих факта:

Факт 1. Любое высказывание, эквивалентное истинному высказыванию, истинно.

Факт 2. Любое высказывание, эквивалентное ложному высказыванию, ложно.

122. Есть ли сокровище на этом острове?

На некотором острове, населенном рыцарями и лжецами, разнесся слух о том, что на нем зарыты сокровища. Вы прибываете на остров и спрашиваете у одного из местных жителей (назовем его A), есть ли золото на его острове. В ответ на ваш вопрос A заявляет: "Сокровища на этом острове есть в том и только в том случае, если я рыцарь".

Наша задача подразделяется на две части:

а) Можно ли определить, кто такой A - рыцарь или лжец?

б) Можно ли определить, есть ли сокровища на острове?

123.

В предыдущей задаче коренной житель A острова рыцарей и лжецов добровольно снабдил вас информацией. Предположим, что теперь вы спросили у A: "Эквивалентно ли высказывание о том, что вы рыцарь, высказыванию о том, что на этом острове спрятаны сокровища?" Если бы A ответил "да", то задача свелась бы к предыдущей. Предположим, что A ответил "нет". Могли бы вы в таком случае сказать, спрятаны ли сокровища на острове?

124. Как я разбогател.

К сожалению, история, которую я хочу вам поведать, не соответствует истине. Но поскольку она интересна, то мне все равно хочется рассказать ее вам.

В океане (в каком именно - не помню) неподалеку друг от друга расположены три острова: A, B и C. Мне удалось разузнать, что по крайней мере на одном из них закопаны сокровища, но на каком именно, осталось невыясненным.

Острова B и C были необитаемы, население острова A составляли рыцари и лжецы. Не исключено, что среди местных жителей встречались и нормальные люди, но сказать с уверенностью, был ли на острове хоть один нормальный человек, я не берусь.

Мне посчастливилось раздобыть карту островов, составленную знаменитым капитаном Марстоном - пиратом, славившимся своими причудами (он-то и запрятал сокровища). К карте была приложена записка, разумеется зашифрованная. Когда я ее расшифровал, то выяснилось, что она состоит лишь из двух предложений. Вот что в ней значилось:

(1) На острове A нет сокровищ.

(2) Если среди жителей острова A встречаются нормальные люди, то сокровища закопаны на двух островах.

Я поспешил на остров A. Мне было достоверно известно, что обитатели этого острова знают о зарытых сокровищах все до мелочей. Король острова догадался, зачем я прибыл в его владения, и в недвусмысленных выражениях разрешил мне задать лишь один вопрос любому из наугад выбранных мною его подданных. Способа установить, на кого пал мой выбор - на рыцаря, лжеца или на нормального человека, у меня не было.

Мне необходимо было придумать такой вопрос, чтобы, получив ответ, я мог указать на один из островов и быть уверенным, что сокровище закопано на нем.

Какой вопрос следовало мне задать островитянину?

125.

Случилось мне как-то раз побывать на другом острове рыцарей, лжецов и нормальных людей. По слухам, на том острове были закопаны несметные сокровища, и я хотел разузнать, как обстоит дело в действительности. Король острова (рыцарь) любезно представил меня трем своим подданным A, B и C и сообщил мне, что не более чем один из них нормальный человек. Любому из них разрешалось задать два вопроса, на которые можно ответить "да" или "нет".

Можно ли при помощи двух таких вопросов выяснить, запрятаны ли на острове сокровища?

126. Умеете ли вы рассуждать логически?

Предположим, что население двух соседних островов составляют только рыцари и лжецы (на островах нет ни одного нормального человека). Вам говорят, что на одном острове проживает четное, а на другом - нечетное число рыцарей.

Вам также сообщают, что на острове с четным числом рыцарей закопаны сокровища, а на острове с нечетным числом рыцарей сокровищ нет.