Вы выбираете наугад один из островов и отправляетесь туда.

Все обитатели острова знают, сколько рыцарей и сколько лжецов живет среди них. Вы беседуете с тремя обитателями A, B и C острова и получаете от них следующие заявления:

A: Число лжецов на этом острове четно.

B: На нашем острове сейчас находится нечетное число людей.

C: Я рыцарь в том и только в том случае, если A и B однотипны.

Предположим, что вы не рыцарь и не лжец и что, когда вы были на острове, других гостей на нем не было. Спрятаны ли на острове сокровища?

РЕШЕНИЯ

109--112. Эти четыре задачи основаны на использовании одной и той же идеи, которая сводится к следующему. Пусть P - любое высказывание, а A - любой обитатель острова рыцарей и лжецов. Тогда если A высказывает утверждение: "Если я рыцарь, то P", то он должен быть рыцарем, а высказывание P должно быть истинным! B это трудно поверить, и мы докажем наше удивительное утверждение двумя способами.

1. Предположим, что A - рыцарь. Тогда высказывание "Если A рыцарь, то P" должно быть истинным (так как рыцари всегда говорят правду). Следовательно, A - рыцарь, и верно, что если A - рыцарь, то P. Из этих двух фактов мы заключаем, что P должно быть истинно. Таким образом, приняв в качестве посылок предположение о том, что A - рыцарь, мы получаем в качестве заключения высказывание P. Тем самым (с учетом факта 4 об импликации) мы доказали, что если A - рыцарь, то P. Но именно это и утверждал A!

Следовательно, A должен быть рыцарем. А так как мы доказали, что если A - -- рыцарь, то P, то заключаем, что P должно быть истинно.

2. Другой способ убедиться в истинности нашего утверждения состоит в следующем. Напомним, что из ложного высказывания следует любое высказывание. Поэтому если A не рыцарь, то высказывание "Если A рыцарь, то P" автоматически становится истинным и, следовательно, не могло бы принадлежать лжецу. Значит, если кто-нибудь, о ком известно, что он может быть либо рыцарем, либо лжецом, высказывает такое утверждение, то он может быть только рыцарем и высказывание P должно быть истинным.

Применим этот принцип к нашим задачам. Начнем с задачи 109.

Если в качестве P принято высказывание "В - рыцарь", то ясно, что A должен быть рыцарем, а его высказывание истинным. Следовательно, B рыцарь, и мы получаем ответ:

A и B - оба рыцари.

В задаче 110 в качестве P выберем высказывание "А придется съесть свою шляпу". Мы видим, что A должен быть рыцарем и что ему придется съесть свою шляпу. (Тем самым доказано, что хотя рыцари обладают несомненными достоинствами и добродетелями, они тем не менее могут быть глуповатыми.)

Ответ к задаче 111: A - рыцарь.

Правильное заключение, к которому можно прийти в задаче 112: автор опять мистифицирует читателей! Условия задачи противоречивы: высказывание "Если я рыцарь, то дважды два - пять" не может принадлежать ни рыцарю, ни лжецу.

113. A должен быть рыцарем, а B - лжецом.

Докажем прежде всего, что только рыцарь может высказать утверждение вида "Если P, то я лжец". Напомним, что истинное высказывание следует из любого высказывания.

Значит, если высказывание "Я лжец" истинно, то полное высказывание "Если P, то я лжец". также истинно. Но если я лжец, то никакое истинное высказывание не могло бы принадлежать мне. Следовательно, высказывая утверждение "Если P, то я лжец", я должен быть рыцарем.

Итак, A должен быть рыцарем. Следовательно, верно также, что если B рыцарь, то A - лжец (потому что A настаивает на истинности этого высказывания). Тогда B не может быть рыцарем, так как в противном случае A должен бы быть лжецом, а он им не является /* Любое высказывание, из которого следует ложное высказывание, должно быть ложным, так как из истинного высказывания не может следовать ложное высказывание. В решении задачи 113 из высказывания "В - рыцарь" следует ложное высказывание "А - -- лжец".

Значит, высказывание "В - рыцарь" должно быть ложным.

Это еще один вариант доказательства от противного.*/.

Следовательно, B - лжец.

114. A в действительности утверждает: "Не верно, что X виновен, а Y не виновен". Но это то же самое, как если бы A утверждал: "Либо X не виновен, либо Y виновен".

Следовательно, A и B в действительности утверждают одно и то же, но выражают свою мысль по-разному. Таким образом, утверждения, приведенные в задаче, либо оба истинны, либо оба ложны, поэтому A и B должны быть однотипными.

115. Предположим, что A - рыцарь. Тогда B также рыцарь (по утверждению A). Следовательно, высказывание B "Если A - рыцарь, то C рыцарь" истинно. Но (по предположению) A - рыцарь. Следовательно, C рыцарь (в предположении, что A - рыцарь).

Итак, мы доказали, что если A - рыцарь, то C - рыцарь /* Мы сделали это, приняв в качестве посылки высказывание "А - рыцарь", из которого вывели заключение "С - рыцарь". В силу факта (1) об импликации мы заключаем, что если A - рыцарь, то C - рыцарь.*/. Именно это и утверждал B. Следовательно, B - рыцарь. Значит, высказывание A о том, что B - рыцарь, истинно, поэтому A также рыцарь. Итак, мы доказали, что если A - рыцарь, то C - рыцарь. Следовательно, C также рыцарь. Значит, все трое - рыцари.