Шрифт:
и, наконецъ, длимъ на 5, будетъ
а это, обыкновенно, прдставляется такъ:
и составляетъ восходящую непрерывную дробь. Нисходящей же дробью была бы такая:
или, если написать ее ясне, то
вычислить ее можно такъ:
Лордъ Брункеръ, англичанинъ, представилъ (въ 1655 г.) въ вид непрерывной дроби величину /4 = 0, 78539316... ( показываетъ отношеніе длины окружности къ длин ея діаметра). Гюйгенсъ въ 1682 году далъ подробное объясненіе того, какъ съ помощью непрерывныхъ дробей можно приводить къ легкимъ числамъ трудныя несократимыя дроби. Полную теорію непрерывныхъ дробей далъ Леонгардъ Эйлеръ, нмецкій ученый 18 в.
Пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней.
Не только въ одной ариметик, но и почти во всхъ другихъ наукахъ идетъ постоянная разработка вопроса, что должно служить ихъ содержаніемъ, и изъ чего долженъ слагаться ихъ матеріалъ. Въ зависимости отъ способовъ изслдованія и отъ пріемовъ обученія содержаніе учебнаго предмета то увеличиваетея, то уменьшается, то замняется другимъ. Ариметика не мало за свою многовковую жизнь потерпла измненій. Началась она съ вычисленій надъ цлыми числами, потомъ къ ней присоединились дроби и именованныя числа, затмъ рядъ другихъ отдловъ и среди нихъ пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней. Поговоримъ о нихъ въ отдльности.
Пропорціи первоначально разрабатывались въ геометріи и занимали въ ней видное мсто, он примнялиеь къ подобію фигуръ; и такъ какъ геометрія составляла любимый предметъ греческихъ математиковъ, то естественно вышло, что разработка пропорцій является заслугой греческихъ ученыхъ. Знаменитйшій геометръ Эвклидъ (III ст. до Р. X.), система котораго вдохновляла всхъ позднйшихъ геометровъ, и европейскихъ и азіатскихъ, и труды котораго считаются классичеекями и незамнимыми по настоящее время, далъ среди другихъ искусно разработанныхъ отдловъ отдлъ о пропорціяхъ. Вліяніе Эвклида на послдующія поколнія было громадно, и оно даетъ себя чувствовать и теперь, поэтому то направленіе, которое придалъ пропорціямъ Эвклидъ, преобладаетъ и теперь въ болышинств учебниковъ. Вкратц по отношенію къ ариметик его можно охарактеризовать тмъ, что пропорціямъ отводится въ ариметик боле высокое мсто, чмъ он заслуживаютъ, и на нихъ боле обращаютъ вниманія, чмъ это должно было бы вызываться содержаніемъ ариметияи и ея цлями. Всякій, кто проходилъ ариметику въ школ и изучалъ пропорціи, вспомнитъ наврное, что этотъ отдлъ вызывалъ въ немъ недоумніе, казался какимъ-то чуждымъ и даже труднымъ. И дйствительно, пропорціи надо бы, по настоящему, исключить изъ курса элеиентарной ариметики и ввести въ составъ буквеиной, общейариметики, т.-е. теоріи чиселъ. Пропорціи не учатъ вычисленіямъ, которыя одни только и составляюгь матеріалъ элементарной ариметики, но он излагаютъ нкоторыя общія свойства, которыя, въ силу своей общности, подлежатъ ариметик не вычисляющей, а обобщающей, т.-е. теоріи чиселъ и алгебр: тамъ ихъ естественное и законное мсто. Надо пожелать, чтобы глава о пропорціяхъ была исключена изъ ариметическаго курса средней школы. Въ геометріи она необходима, тамъ она пусть останется, и пусть геометрическое ученіе о пропорціяхъ послужитъ иачаломъ для алгебраическаго, какъ боле наглядное должно служить фундаментомъ для отвлеченнаго. Напрасно думаютъ иные, что пропорціи нужны для задачъ на тройное правило, на правило процентовъ и т. д. Вс эти задачи могутъ прекрасно обойтись безъ пропорцій и ршаться приведеніемъ къ единиц, а еще лучше различными искусственными упрощающиии пріемами, которые скоре ведутъ къ цли и могутъ боле изощрить мышленіе учениковъ. Практическая жизнь сильно суживаетъ примненіе пропорцій, сравнительно съ тыъ, какое имъ дается въ ариметик, Напр., бываютъ въ ариметик задачи: «1 арш. стоитъ 2 руб. Сколько стоятъ 1000 аршинъ»? Всякій торговый человкъ, даже неучившійся ариметик, знаетъ, что при большихъ партіяхъ товара обязательно длается уступка и слд. 1000 арш. обойдутся не въ 2000 руб., а нсколько дешевле. Подобныхъ задачъ, гд расходится ариметіческая точность съ житейской практикой, можно привести массу, и поэтому не удивительно, если при нкоторой неосторожности ученики вмсто полезныхъ выводовъ получаютъ отъ цропорцій нчто сумбурное и несообразное, доходящее даже до извстныхъ курьезовъ, въ род: «одинъ человкъ пройдетъ весь путь во столько-то времени, сколько времени потребуется, если пойдутъ вмст два человка». Мы, конечно, смемся надъ несообразительностью маленькаго ученика, но мы несправедливы,когда объясняемъ нелпый отвтъ только тупостью ученика; нтъ, виноваты и мы, потому что заставляемъ изучать въ ариметик отдлъ чуждый, отвлеченный, не вытекающій изъ предыдущихъ отдловъ.
Прогрессіи. Прогрессіей, какъ извстно, называютъ рядъ чиселъ, расположенныхъ въ оцредленномъ порядк уменьшенія или увеличенія. Напр., рядъ 2, 4, 6, 8, 10 и т. д. составляетъ ирогрессію, потому что входящія въ него числа все увеличиваются на 2; точно также прогрессіей будетъ называться и рядъ такой: 4, 2, 1, 1/2 , 1/4 , , 1/8 , 1/16, и такъ дале, потому что помщенныя здсь числа цостепенно все уменьшаютея вдвое. Въ старинныхъ учебникахъ ариметики прогрессіи считались необходимой главой и помщались въ нихъ всегда, и это было до средины прошлаго ХІХ-го вка. При этомъ, изложеніе часто отличалось неясностью и сбивчивостью, такъ что, напр., прогрессія смшивалась съ пропорціей, какъ у Магницкаго на стр. РОФ
«Что есть прогрессіо: Прогрессіо есть пропорціо, или подобенство числъ къ числамъ въ примноженіи или во уменьшеніи яковыхъ либо перечневъ и раздляются на три вида, иже суть: ариметическое, геометрическое и армоническое. О армоническомъ иди муссикiйскомъ нсть треба намъ глаголати. Въ ариметическомъ прогреесіи въ примножительномъ егда къ первому числу приложиши разнство тогда исполнится другое, егда же ко другому чнслу тожде разнство приложиши, тогда будетъ третіе число. А во умалительномъ прогрессіи аще вычтеши разнство отъ перваго числа останется другое, а отъ другого третье и прочая».
И т. дале.
Въ иныхъ старинныхъ ариметивахъ къ прогрессіямъ еще присоединялось вычисленіе рядовъ. Такъ, напр., арабскiй математикъ Алькархи (въ XI в. по Р. Христ.) далъ правило, какъ вычислять сумму кубовъ ряда послдовательныхъ чиселъ, начиная съ единицы.
Примры на правило Алъкархи можно привести такіе:
13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2, такъ какъ 1 + 8 + 27 =6 X 6
13+23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2, такъ какъ 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 15 X 15
и т. д.
Въ настоящее время прогрессіи и ряды не встрчаются въ учебникахъ ариметики и не входятъ въ школьную программу по этому предмету. Теперь признано, что для полнаго объясненія этихъ отдловъ нужна общая количественная наука, а не частная, числовая, т.-е. не ариметика, а алгебра.
Извлеченіе корней до самаго послдняго времени входило въ составъ ариметики и содержалось даже въ нкоторыхъ учебникахъ 60-хъ годовъ прошлаго столтія, напр., въ задачник, изданномъ департаментомъ народнаго просвщенія, имлись задачи на квадратные и кубическіе корни. Этотъ отдлъ, дйствительно, вполн числовой, и процессъ извлеченія корня очень подходилъ бы къ курсу ариметики, но только въ томъ бда, что трудно провести хорошее объяененіе этого дйствія безъ помощи алгебры, поэтому теперь извлеченіе корней признается обыкновенно частью алгебры.
Умли извлекать корни индусскіе и арабскіе математики, также и греческіе ученые. Индусамъ и арабамъ были извстны начала алгебры и даже въ такой мр, что они могли ршать квадратныя уравненія. Поэтому вполн слдовало ожидать того, что уже въ ХІІ в. по Р. X. извлеченіе корней шло почти такъ же, какъ идетъ оно сейчасъ у насъ.
Тройное правило.
Нтъ такого достаточно сильнаго выраженія, на которое поскупились бы составителя средневковыхъ ариметикъ, чтобы похвалить тройное правило. «Та строка тройная похвальная и лучшая строка изо всхъ иныхъ строкъ.» «Ее философы зовутъ золотою строкою». Въ нмецкихъ учебникахъ объ немъ отзывались, какъ о такомъ, которое «выше всхъ похвалъ», оно—«ключъ купцовъ». Такъ же и у французовъ оно слыло подъ именемъ r`egle dor'ee—золотого правила. Оно противополагалось цлой наук—алгебр.