Шрифт:
Еще примръ: найти прибыль съ 6000 р. по 4% за 1 г. 7 м. 9 дней.
Изъ этихъ примровъ можно понять, чмъ отличается итальянская практика отъ тройного правила: въ тройномъ правил идетъ приведеніе къ единиц или, точне сказать, къ простой единиц, здсь же вопросъ приводится къ сложной единиц, т. е. къ групп единицъ. Это видне на такомъ примр: 22 фунта стоятъ 10 руб., сколько стоятъ 33 ф.? По итальянской практик не надо приводить этого вопроса къ 1 фунту, а удобне привести прямо къ кратной части всего количества, къ 11 фун.; получимъ ихъ стоимость=5 р.; а потомъ остается 5 руб. повторить 3 раза.
Въ послднее время задачи на приведеніе къ кратной части и на сложеніе кратныхъ частей стали встрчаться въ нкоторыхъ задачникахъ, особенно для начальной школы. Это очень хорошо, потому что такіе вопросы развиваютъ сообразительность, даютъ просторъ выбору и обсужденію способовъ и вообще соотвтствуютъ истинной цли ариметики, какъ общеобразовательнаго учебнаго предмета, имющаго ввиду развить умъ, а не только снабдить ученика навыками счета.
Фальшивое правило.
Существовало и такое правило, и не только существовало, но пользовалось громаднымъ вниманіемъ. По крайней мр, у Магницкаго особая 4-я часть его ариметики была посвящена правиламъ „фальшивымъ или гадательнымъ“, въ то время, какъ въ 1-й части шли дйствія надъ цлыми числами, во 2-й надъ дробями, въ 3-й помщено тройное правило и въ 5-й и послдней о „прогрессіи и радиксахъ (т. е. корняхъ) квадратныхъ и кубичныхъ". Что же это за фальшивое правило, и почему у него такое странное названіе? Магницкій какъ бы предвидитъ подобный вопросъ и потому объясняетъ успокоительно:
«фальшивая правила, сирчь не истинная положенія, зане чрезъ два не истинная положенія изобртаетъ самое оно желаемое истинное число».
Объяснимъ это правило на общеязвстной задач о гусяхъ, кстати она и помщена въ ариметик Румовскаго (1760 г.), какъ примръ фальшиваго правила. Задача такая:
«летло стадо гусей, на встрчу имъ летитъ одинъ гусь и говоритъ: здравствуйте, сто гусей, а т ему отвчаютъ: нтъ, насъ не сто гусей, а если бы насъ было еще столько, сколько есть, да еще полъ-столька, да четверть-столька, да еще ты одинъ гусь съ нами, тогда насъ было бы ровно сто гусей. Сколько ихъ было?»
Ршеніе такое: положимъ, во-первыхъ, что гусей было хоть двадцать; сочтемъ теперь, что составитъ столько, да полъ столько, да четверть столько, да еще одинъ, и выйдетъ всего гусей 20 + 20 + 10 + 5 + 1 = 56; а ихъ надо 100, слдовательно не достаетъ 44-хъ. Положимъ теперь, во-вторыхъ, что гусей было 24, и сосчитаемъ опять итогъ, выйдетъ 24 + 24 + 12 + 6 + 1=67, не достаетъ до 100 33-хъ. Итакъ, первое предположеніе было 20, недостатокъ 44, второе предположеніе 24, недостатокъ 33. Теперь слдуетъ перемножить накрестъ 20 24 и изъ большаго произведенія
20 24
X
44 33
вычесть меньшее, т.-е. 44 · 24 - 20 · 33 = 1056 - 660= 396 и этотъ остатокъ 396 раздлить на разницу между обоими недостатками 44 — 33, получится 396 :11 = 36, врный отвтъ задачи. Общее правило выражается такъ: надо принять для вопроса задачи какое-нибудь произвольное значеніе, высчитать тотъ результатъ, который получится, когда подставимъ въ задачу это произвольное число, затмъ высчитать погршность; точно также берется второе произвольное значеніе и вычисляется второй результатъ и вторая погршность; тогда
Способъ фальшиваго правила былъ извстенъ индусамъ и арабамъ еще въ IX в. по Р. X., при чемъ выводъ его принадлежитъ, по всей вроятности, индусамъ. Въ латинскихъ рукописяхъ Парижской библіотеки говорится, что индусское сочиненіе, относящееся къ этому предмету, было переведено въ XII в. на еврейскій языкъ испанскимъ евреемъ Авраамомъ бэнъ-Эзра. Съ еврейскаго языка это сочиненіе было переведено впослдствіи на латинскій. У арабскихъ писателей фальшивое правило пользовалось широкимъ распространеніемъ, и объ немъ говорятъ вс арабскіе математики.
Альхваризми (въ IX в. по Р. X.) даегь слдующій примръ: «найти такое число, что если отнять отъ него 1/3 и 1/4 его, то въ остатк будетъ 8»; положимъ, что число будетъ 12, тогда остатокъ вышелъ бы 5, вмсто 8, т.-е. на 3 меньше; пусть число 24, тогда остатокъ оказался бы больше настоящаго на 2, теперь въ формул ршенія намъ придется сложить 2 произведенія, о которыхъ говорилось выше въ правил, а не вычесть одно изъ другого, и это потому, что въ задач одинъ отвтъ больше настоящаго, а другой меньше его (24.3 +12.2) : (3 + 2) = 191/5. О фальшивомъ правил много говоритъ также Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ 13 ст. Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII в. это правило извстно подъ такимъ именемъ: «статья цифирная именуется вымышленая или затйчивая. Высокаго остропамятнаго разума и умнаго прилежаніе ея-же нціи фальшивою строкою нарекоша, иже ни малымъ чмъ погршается».