Задачи на пропорціональное дленіе ршались, обыкновенно, тройнымъ правиломъ, при этомъ не оставалось мста ни сокращеніямъ, ни упрощеніямъ и не давалось простора личной сообразительности ученика. Обыкновенно, сперва помщалось условіе вопроса, потомъ тутъ же ршеніе, ученикъ все это заучивалъ и впослдствіи старался это прилагать, когда встрчалъ вопросъ, похожій на заученный.

Взиманіе процентовъ практиковалось еще въ древнія времена, но въ различныхъ государствахъ къ нему относились различно и вообще это дло было совершенно не урегулировано.

У римлянъ допускались только простые проценты, онн высчитывались по одному въ мсяцъ и выплачивались по истеченіи каждаго мсяца. Брать сложные проценты было у нихъ запрещено закономъ. Также и въ средніе вка во многихъ государствахъ сложные проценты запрещались закономъ, и т, кто ихъ бралъ, считались ростовщиками и пользовались презрніемъ. Это были, обыкновенно, евреи. Законодатель исходилъ изъ того положенія, что если человкъ затрудняется простыми процентами и не можетъ вносить ихъ аккуратно въ срокъ, то безжалостно было-бы начислять на него сложные проценты. Въ ариметическихъ сборникахъ такія задачи попадались рдко, и въ условіяхъ ихъ говорилось, обыкновенно, про евреевъ. Въ русскомъ обществ до 18 ст. начисленіе процентовъ, очевидно, тоже не пользовалось расположеніемъ, по крайней мр, у Магницкаго (1703 г.) очень мало задачъ на вычисленіе роста, и самое слово «процентъ» у него не употребляется.

Въ ХV—XVI стол., когда въ Западной Европ замчается особенный подъемъ торговли, всякія коммерческія вычисленія стали пользоваться вниманіемъ и среди нихъ вычисленіе сложныхъ процентовъ, но математикамъ того времени стоило большого труда ршать эти вопросы: не было десятичныхъ дробей и логаримовъ, да кром того, мры стоимости были во всякомъ государств свои, и переводить ихъ изъ одной системы въ другую считалось нелегкой операціей. Итальянскій математикъ Тарталья даетъ 4 способа вычисленія сложныхъ процентовъ: 1) опредляетъ наращенный капиталъ въ конц перваго года, затмъ въ конц второго и т. д., отвтъ находится при помощи тройного правила. 2) Пользуясь извстной алгебраической формулой aqn, но ея буквально не приводитъ. 3) Приростъ капитала выражаютъ его долей

(алгебраически

) и находятъ эту долю сперва отъ начальнаго капитала, потомъ отъ перваго наращеннаго, затмъ отъ второго наращеннаго и т. д.; эту долю прибавляютъ, когда нужно, къ первому капиталу, ко второму и т. д. 4) Берется произвольная сумма, обыкновенно сто рублей, и для нея находится отвтъ, т. е. капиталъ вмст съ процентными деньгами, потомъ конечный отвтъ помножаютъ на то число, которое показываетъ, сколько сотенъ въ данномъ первоначальномъ капитал. На этомъ способ основано и ныншнее пользованіе таблицами сложныхъ процентовъ.

Чтобы избжать трудныхъ дробей, нмецкій математикъ Рудольфъ (ХVІ в.) еще до введенія десятичныхъ дробей пользовался десятичными дробями. Его примръ такой: во что обратится сумма 375 флориновъ черезъ 10 лтъ по 5%? Ршеніе:

Въ связи съ процентами стоитъ учетъ векселей. Правило учета было извстно еще римлянамъ. Такъ, напр., римскій математикъ Секстъ Юлій Африканъ, писавшій свои сочиненія по ариметик и геометріи при император Александр Север (222—235 г.), разсматривалъ такъ наз. interesurium, т. е. ученіе о интересахъ или процентахъ, по нашему — коммерческій учетъ векселей. Отъ римлянъ онъ перешелъ къ народамъ Западной Европы, а тамъ мы его видимъ въ XIII вк у итальянцевъ, которые первые надумали устраивать коммерческіе банки (первые итальянскіе банки относятся къ 1200 г. по Р. X.). Самый старинный вексель, дошедшій до насъ. помченъ 1325 годомъ и писанъ въ Милан, получить по нему въ Лукк. Въ XIII и XIV ст. въ Германіи встрчались векселя совершенно примитивной формы, но зато исключавшіе возможность всякой поддлки: бралась бирка, длинная палочка, и на ней графили такія зарубки, которыя могли-бы точно выражать вексельную сумму; затмъ эта бирка кололась по длин на 2 палочки, и одна изъ нихъ вручалась должнику, другая—заимодавцу; поддлать такой вексель было невозможно, потому что иначе палочки другъ къ другу не подойдутъ. На учетъ векселей смотрли въ древніе вка очень косо, и дурная слава утвердилась за нимъ потому, что маклера не брезговали большими процентами; довольно обыкновеннымъ размромъ было 33%, а если какой маклеръ учитывалъ изъ 20%, то онъ считалсл милостивымъ.

Коммерческій учетъ называется въ настоящее время иначе учетомъ Пинкарда или Карпцова, по имени составителя и издателя таблицъ этого учета. По этому способу учета заимодавецъ остается въ убытк, если учетный процентъ равенъ тому проценту, по которому брали деньги взаймы. Нашъ математическій учетъ называется иначе учетомъ Гоффмана (около 1731 г.). Третій способъ учета предложенъ Лейбницемъ. Въ немъ есть сходство съ математическимъ учетомъ, но проценты на уплачиваемую сумму начисляются сложные. Объяснимъ это алгебраически. Пусть плата будетъ X, валюта А, число процентовъ p, срокъ n лтъ; тогда

, отсюда

слдовательно, скидка или учетъ по векселю составляетъ

Постепенное погашеніе государственныхъ долговъ, устройство лоттерей, покупка капитала путемъ періодическихъ взносовъ, различные виды страхованія и другія банковскія и коммерческія операціи требуютъ вычисленій, основанныхъ на правил сложныхъ процентовъ и на теоріи вроятностей. Эти вычисленія составляютъ предметъ такъ назыв. политической (коммерческой) ариметики. Терминъ «политическая ариметика» былъ въ большомъ ходу во 2-й половин XVIII столтія. Въ новйшее время этотъ отдлъ обработанъ съ большой полнотой внскими профессорами Шпитцеромъ и Габерлемъ. Въ XIX столтіи самое понятіе о процент расширилось, благодаря введенію его въ статистику. Теперь уже отброшено старое опредленіе процента, какъ прибыли или убытка на сто рублей капитала, и вмсто того говорятъ, что процентъ просто сотая доля количества. Это опредленіе принимается, обыкновенно, во всхъ новйшихъ учебникахъ.

Скажемъ теперь нсколько словъ о правил, которое у нмцевъ носитъ названіе «Terminrechnung», а у насъ озаглавливается „вычисленіе сроковъ платежей“. Оно примняется тогда, когда нсколько капиталовъ, отданныхъ на разные сроки и по разному числу процентовъ, надо замнить общимъ капиталомъ, съ тмъ, чтобы онъ уплачивался въ общій срокъ. Расчетъ долженъ быть основанъ на томъ, чтобы ни заимодавецъ, ни должникъ не терпли убытка. Примръ можно взять такой: я обязанъ уплатить 1000 рубл. черезъ 2 года по 5%, 2500 р. черезъ 3 г. по 4% и 3000 р. черезъ 1 годъ по 6%. Когда въ одинъ общій срокъ я могу отдать эти деньги сразу? Уже въ XVI столтіи итальянскими учеными было иредложено два совершенно врныхъ пути для ршенія подобныхъ вопросовъ. Лука де-Бурго разсуждаетъ слдующимъ образомъ. Положимъ, что должникъ платитъ вс деньги въ первый срокъ; тогда онъ платитъ напрасно процентныя деньги съ остальныхъ капиталовъ, которымъ срокъ еще не настуішлъ, а именно платитъ за время между 1-мъ срокомъ и осталышми; высчитаемъ эту лишнюю сумму процентныхъ денегъ, высчитаемъ также, въ какое время эту сумму принесутъ вс капиталы, тогда мы и получимъ средній срокъ. Тарталья и Видманнъ пользуются нсколько инымъ пріемомъ, который, сравнительно съ пріемомъ Бурго, нсколько сокращенне, именно тмъ, что вмсто прибыли вводятся произведенія капиталовъ на число дней или лтъ. Это и есть тотъ самый нормальный пріемъ, какой употребляется въ настоящее время.