Далеко не безразлично, съ какихъ разрядовъ множимаго начинать письменное дйствіе, съ высшихъ или низшихъ. Послднее удобне. Что касается множителя, то въ сущности одна привычка заставляетъ насъ начинать съ единицъ, потому что можно съ такимъ же правомъ умножать сперва на высшіе разряды множителя и потомъ постепенно переходить къ низшимъ, лишь бы врно подписывать произведенія, т.-е. десятки подъ десятками, а единицы подъ единицами. Покажемъ это на примр:

Еще видне въ многозначныхъ числахъ:

7. Седьмой способъ принадлежитъ Вендлеру и отличается отъ шестого единственно тмъ же самымъ, чмъ второй отъ перваго, именно лишними нулями на мст десятковъ, сотенъ и т. д. Если вписать эти нули, то 33x4567 изобразится въ такомъ вид:

8. Восьмой способъ устный, встрчается у Брамегупты, ученаго индуса VII в. по Р. X. Онъ совершенно сходенъ съ нашимъ устнымъ пріемомъ, да такъ и доджно быть, потому что индусы, главнымъ образомъ, изобртали и совершенствовали устный счетъ, они были первыми спеціалистами въ этомъ род вычисленій; они вычисляли отдльныя произведенія въ ум, писали ихъ строкой и потомъ складывалн. Лишнимъ, на нашъ взглядъ, могло бы показаться разв то, что множимое переписывается нсколько разъ, именно столько разъ, сколько разрядовъ во множител.

9. Девятымъ пріемомъ умноженіе производится тоже сначала на десятки, а потомъ на единицы; если бы были сотни, то, конечно, сперва на сотни. Умноживши на десятки, произведеніе подписываютъ точно такъ же, какъ это сдлали бы и мы, но съ единицами идегь иначе.

Когда мы умножимъ 456 на 7, то получимъ 3192. Изъ нихъ 319 десятковъ помщаемъ внизу, во второй строк, подъ тми цифрами, какія соотвтствуютъ имъ по значенію, а 2 единицы вверху, рядомъ съ 4 десятками, прямо подъ единицами множителя, въ виду того, что это мсто ничмъ не занято. Подобная система писать цифры какъ можно выше, на свободныхъ мстахъ, проявляется у многихъ авторовъ, какъ это мы увидимъ впослдствіи; порядокъ этотъ довольно безвредный, потому что, гд бы ни писать, лишь бы написать врно подъ своимъ разрядомъ: но онъ можетъ оказаться и неудобнымъ тогда, когда счетчикъ собьется: тогда очень трудно разобраться въ ряд цифръ, найти, какая изъ нихъ принадлежитъ къ какому произведению, и исправить ошибку. Этотъ девятый способъ приписывается Апіану (XVI в.).

10. Въ предыдущихъ 4 способахъ дйствіе начиналось съ высшихъ разрядовъ множителя, и въ этомъ только, главнымъ образомъ, и заключалась ихъ особенность; цифры подписывались почти такъ же, какъ у насъ, и вообще большого измненія противъ нормальнаго порядка не было. Но теперь мы перейдемъ къ боле грубымъ и старымъ пріемамъ, въ которыхъ уклоненій отъ нашего уже гораздо больше. Отличіемъ ихъ является полная механичность, безъ всякаго вычисленія въ ум; составители зтихъ пріемовъ держатся слишкомъ невысокаго мннія о понятливости и сообразительности своихъ учениковъ, ничего не довряютъ устному счету и рекомендуютъ все записывать, даже до мелочей, и притомъ по опредленнымъ, точно установленнымъ формамъ. Напримръ, когда умножаются десятки, то къ ихъ произведенію нельзя прямо прибавить тхъ десятковъ, которые получились отъ единицъ, а надо написать отдльно и сложить ихъ въ самомъ конц, когда вс мелкія умноженія будутъ выполнены. Эти тяжеловсные, громоздкіе способы въ настоящее время всми оставлены, и никому въ голову не придетъ ими воспользоваться, между тмъ, въ XV–XVII столтіи, въ эпоху наиболе усиленной работы надъ ариметикой, когда индусская система проникла и въ народъ, и въ школу, эти способы были ходячими и общепринятыми. Сейчасъ они не имютъ никакой цны, потому что требуютъ много лишняго письма и лишняго времени для вычисленій, мы же ихъ приводимъ съ тою цлью, чтобъ показать, изъ какихъ первоначальныхъ и несовершенныхъ формъ образовались наши боле совершенныя.

Вотъ способъ Штейнмеца (XVI в.). Примръ:

Шестью семь 42, такъ и пишемъ; пятью семь 35, пишемъ 5 десятков подъ 4 десятками, а три сотни вверху подъ сотнями, потому что там мсто есть свободное; четырежды семь 28, пишемъ 8 сотенъ подъ 3-мя, а дв тысячи на свободном мст тысячъ въ верхней строк. Вообще стараемся писать цифры какъ можно выше, гд только есть свободное мсто для извстнаго разряда. Отдльныя произведенія располагаются, какъ видимъ, строками, которыя, чмъ ниже, все короче, и получается фигура, похожая на треугольникъ, такъ что и самый способъ носитъ названіе треугольника. Послдніе его слды встрчаются въ учебникахъ еще въ XVII столтіи.

11. Умноженіе треугольникомъ иметъ не одну форму, а нсколько, въ зависимости отъ того, начинать ли дйствіе съ высшихъ разрядовъ или низшихъ, или даже какихъ-нибудь промежуточныхъ, писать ли цифры какъ можно выше или какъ можно ниже. Если начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, то образуется такая фигура:

12. По двнадцатому способу умноженіе треугольникомъ начинается съ какого-нибудь средняго разряда. Конечно, зто безразлично для произведенія, если только мы не собъемся въ порядк цифръ и не пропустимъ чего-нибудь и не возьмемъ лишняго. Умножимъ сперва 5 дес. на 97, потомъ 4 сотни и, наконецъ, 6 единицъ.

Треугольникъ можно бы повернуть основаніемъ внизъ и вершиной вверхъ. Тогда фигура получится красиве. Особенно она хороша при длинныхъ многозначныхъ числахъ, когда очертаніе треугольника выдляется ясне.

13. Стоило только математикамъ попасть на одну геометрическую фигуру, на треугольникъ, и они принялись изобртать всевозможныя формы: уголъ, ромбъ и т. д. Наперерывъ, одинъ передъ другимъ, школьные педагоги въ Германіи и Италіи ХVІ—XVII вка стали предлагать хитроумные, фигурные способы, въ которыхъ не имлось въ виду удобства, а требовалось только представить что-нибудь новое и замысловатое. Нкоторые педагоги получили даже своеобразную извстность въ этомъ направленіи. Такъ итальянецъ Тарталіа училъ въ своей школ 8 способамъ; столькимъ же училъ и Лука-де-Бурго; но вычислять по нимъ они своихъ учениковъ не заставляли, кром одного способа или двухъ, и приводили остальные только по установившемуся обычаю или изъ хвастовства.

Расположеніе угломъ достигалось благодаря тому, что произведеніе простыхъ единицъ отодвигалось вправо, а остальные разряды писались симметрично вверху и внизу. Вотъ форма угла при умноженіи 456 на 97.

Первое произведеніе 36 составилось изъ множителей 4 и 9, второе — изъ 5 и 9, третье — изъ 6 и 9. Такимъ образомъ, мы помножили на десятки и начали дйствіе въ этомъ случа съ сотенъ множимаго; дале умножаемъ на единицы, но ведемъ уже въ обратномъ порядк, именно, начинаемъ съ единицъ множимаго и постепенно добираемся до его сотенъ.