На вопросъ, сколько ариметическихъ дйствій, теперь всякій, даже недоучившійся въ школ, можетъ отвтить, что ихъ—четыре: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дленіе. Но не всегда было такъ; прежде дйствій насчитывали больше: 5, 6, 7, и даже 9. Откуда же ихъ столько брали? Очевидно, изъ того же источника, т.-е. изъ ариметики, но съ раздленіемъ и дополненіемъ. Во-первыхъ, нумерацію принимали за особое дйствіе и такимъ образомъ насчитывали 5. Во-вторыхъ, долгое время у большинства писателей выдлялись еще въ особыя правила удвоеніе и раздвоеніе. Выходитъ дйствій семь. Къ нимъ иногда присоединяли возвышеніе чиселъ въ степень и извлеченіе корня, и получалось 9.

Происходила эта путаница отъ того, что авторы никакъ не могли согласиться, что разумть подъ дйствіемъ. Мы разумемъ подъ нимъ составленіе новаго числа по даннымъ числамъ и потому не считаемъ нумерацію за дйствіе.

Удвоеніе числа и дленіе пополамъ изстари, съ глубокой древности, еще со временъ египтянъ, считалось не видомъ умноженія и дленія, а особымъ дйствіемъ. Впрочемъ, отъ египтянъ его переняли не столько римляне, сколько арабы. Поэтому въ борьб новой арабской ариметики со старой римской, когда въ XIII–XIV вв. столкнулись латинская схоластика съ индусской математикой, удвоеніе и раздвоеніе стояли на знамени новой науки и усиленно рекомендовались въ качеств очень полезной и важной мры для лучшаго усвоенія дйствій. Ученый англичанинъ Сакро-Боско, жившій въ XIII столтіи, рекомендовалъ начинать дленіе пополамъ справа, т.-е. съ низшихъ разрядовъ, подобно сложенію и вычитанію, а удвоеніе—слва, съ высшихъ разрядовъ, какъ это длалъ онъ и въ умноженіи вообще и въ дленіи. Сейчасъ намъ совершенно непонятно, какія такія удобства могли бы представиться, если бы начинать дленіе справа, а умноженіе слва; мы, по крайней мр, стали бы производить эти дйствія совершенно наоборотъ. Наврное, такія же причины заставили и средневковыхъ математиковъ поглубже вдуматься, есть ли, дйствительно, польза отъ того, чтобы удвоеніе и раздвоеніе отличать отъ простого умноженія и дленія; пришлось сознаться, что это только частные случаи главныхъ дйствій; первый, кто авторитетно заявилъ объ этомъ, былъ итальянецъ Лука Пачіоло (1500 г.). Онъ перешелъ къ нашему обыкновенному способу дленія.

Возвышеніе чиселъ въ квадратъ и кубъ и извлеченіе корней считалось необходимой принадлежностью ариметики почти до самаго послдняго времени. Эти два правила помщались въ ариметик до 50-хъ и даже 60-хъ годовъ истекшаго [6] столтія. Теперь ихъ пропускаютъ, потому что, чтобы ихъ выяснить толково, надо знать алгебру, и, слд., лучшее имъ мсто въ алгебр.

Арабскій математикъ Аль-Ховаризми (въ IX в. по Р. X.), въ честь котораго и вся система арабской ариметики получила названіе алгоритма, не считалъ нумерацію за дйствіе и принималъ только слдующія шсть: сложеніе, вычитаніе, дленіе пополамъ, удвоеніе, умноженіе и дленіе. Послдовательность дйствій у него, какъ видимъ, очень оригинальная, хотя ей нельзя отказать въ большой дол цлесобразности, въ смысл перехода отъ легкаго къ боле трудному. Когда удвоеніе и раздвоеніе были оставлены, то многіе математики начали посл сложенія проходить прямо умноженіе, а потомъ ужъ вычитаніе съ дленіемъ. И они поступали въ этомъ случа основательно, потому что умноженіе опирается на сложеніе, а дленіе можетъ приводиться къ повторительному вычитанію длителя изъ длимаго.

Въ только что минувшемъ XIX столтіи нкоторые нмецкіе педагоги придумали изъ одного дленія образовать 2 дйствія, именно, во-первыхъ, когда требуется раздлить число на нсколько равныхъ частей, и, во-вторыхъ, когда надо узнать, сколько разъ одно число содержится въ другомъ. Такое раздленіе надо признать излишнимъ, тутъ вовсе нтъ 2-хъ различныхъ дйствій, а есть только два вида одного дйствія, при чемъ въ первомъ вид отыскивается множимое по произведенію и множителю, а во второмъ — множитель по произведенію и множимому. Отдльные знаки для этихъ 2-хъ видовъ мы также полагали бы лишними: длимъ ли мы, наприм., на пятерыхъ или длимъ на пятки, и тутъ, и тамъ все длимъ, поэтому и можно удовольствоваться однимъ знакомъ.

Поговоримъ теперь о знакахъ ариметичесвихъ дйствій и прежде всего отмтимъ, что потребность въ знакахъ начала чувствоваться такъ же давно, какъ и потребность въ цифрахъ. Какъ цифрами первоначально служили наглядныя фигуры и буквы алфавита, такъ и знаки образовались изъ чертежей и тоже буквъ. Еще древніе египтяне употребляли при сложеніи нчто въ род нашего плюса. У грековъ знакомъ сложенія являлась косая черта, при вычитаніи писалась кавычка, и знакомъ равенства служила дуга (см. приложеніе 11-е въ конц книги). Поздне (въ IV в. по Р. X.) Діофантъ Александрійскій, знаменитый греческій геометръ; ввелъ вмсто знака равенства букву і, начальную букву слова «», что значитъ «равны». Арабы вовсе не употребляли знака сложенія въ томъ случа, когда количества писались рядомъ, потому что, дйствительно, здсь можно подразумвать сложеніе само собой. Знакъ вычитанія у нихъ писался въ вид цлаго слова, которое, въ перевод на русскій языкъ, значитъ «безъ». Вычитаемое арабы ставили налво, а уменьшаемое— направо, потому что они, подобно всмъ семитическимъ народамъ, располагали слова отъ правой руки къ лвой, а не отъ лвой къ правой, какъ мы. Знакомъ равенства у нихъ было S; это есть послдняя буква слова «равняется». Нашъ настоящій знакъ равенства введенъ въ алгебру Робертомъ Рекордомъ въ 1556 году. Косой крестъ при умноженіи окончательно предложенъ Уттредомъ въ 1631 году. Но и до него этотъ знакъ употреблялся очень чагсто и считался очень удобнымъ, потому что онъ указывалъ не только дйствіе, но и порядокъ дйствія. Именно, старинный употребительный способъ умноженія былъ способъ «крестика», въ такомъ род:

26

X

34

Чтобы умножить 26 на 34, брали 4 отдльныхъ произведенія: 20x4, 6x30, 6x4, 20x30, изъ нихъ два вертикально и два крестъ на крестъ. Этотъ способъ иначе называется хіазмомъ, потому что косой крестъ походитъ на греческую букву (хи), и самый знакъ умноженія назывался иногда «хи». Замчательно, что онъ же продолжительное время служилъ и знакомъ дленія дробей, такъ какъ въ этомъ случа тоже приходится выполнять дйствіе крестъ накрестъ: числителя одной дроби помножать на знаменателя другой. Христіанъ Вольфъ въ XVIII ст. предложилъ обозначать умноженіе точкой. Наши знаки плюсъ и минусъ въ ихъ нормальной форм встрчаются въ первый разъ около 1489 г. въ ариметик лейпцигскаго профессора Видмана. Съ 1600 г. уже во всхъ четырехъ дйствіяхъ можно видть настоящіе знаки.

Теперь поведемъ рчь объ опредленіяхъ дйствій. Что показываетъ опредленіе? Оно указываетъ смыслъ дйствія и его сущность. Такъ, напр., опредленіемъ умноженія цлыхъ чиселъ служитъ слдующее: «умноженіемъ называется такое ариметическое дйствіе, въ которомъ составляется сумма столькихъ слагаемыхъ, равныхъ первому даному числу, сколько единицъ заключается во второмъ данномъ числ». Надо сказать, что опредленія въ первоначальной арабской ариметик были короткими и понятными и употреблялись только тогда, когда въ нихъ дйствительно являлась надобность, т.-е. когда дйствіе безъ опредленія представлялось неяснымъ и смшивалось съ другимъ. Но, въ противоположность этому, средневковая школьная ученость (такъ назыв. схоластика) начала придавать словеснымъ опредленіямъ слишкомъ большое значеніе, начала требовать опредленій даже и въ тхъ случаяхъ, когда и безъ нихъ понятія ясны, просты и не смшиваются. Къ этому еще присоединилось увлеченіе мнимо-научнымъ языкомъ, когда стремились нарочно выражатьея туманно, тяжеловсно, нагромождая фразу на фразу, и все это съ цлымъ рядомъ придаточныхъ предложеній, въ груд которыхъ нердко было трудно дойти до истиннаго смысла. Излишнія и тяжело выраженныя опредлевія не мало мучили учащихся; средневковая варварская латынь и хитроумная риторика ложились тяжелымъ бременемъ на умственныя силы учениковъ и мало содйствовали уясненію основныхъ математическихъ понятій. И въ наши дни замтно еще нкоторое вліяніе средневковой схоластики, особенно въ нмецкой школ. Недаромъ знаменитый русскій педагогъ Ушинскій говоритъ:

Приведемъ нсколько примровъ, которые доказываютъ, какъ иногда трудны и безполезны бываютъ опредленія. Въ русской ариметик Румовскаго (1760 г.) относительно дленія сказано такъ: